Дискретно-непрерывная математика (стр. 48 )

2. Привести пример 2×2-матрицы А, такой, что и хотя А не является положительной.

3. Предположим, что Доказать, что если А имеет положительный собственный вектор, то

4. При как известно, при Исполь­зуя следствие 22.1.33, доказать, что если и А имеет поло­жительный собственный вектор, то для всех где есть постоянная матрица. При этом условие насчет существования положительного собственного вектора не может быть опущено —показать это, рассмотрев матрицу Оба этих результата обсудить в свете следствия 19.6.13.

5. Доказать, что если матрица имеет положительный собственный вектор, то она подобна какой-то неотрицательной матрице с одинаковыми строчными суммами. Чему равны эти суммы? Указание. Использовать замечания, предваряющие тео­рему 22.1.26.

6. В § 22.4 будет доказано, что у любой неотрицательной неразложимой матрицы обязательно найдется положительный собственный вектор. Показать, что неотрицательная матрица, будучи разложимой, также может иметь положительный соб­ственный вектор.

7. Пусть матрица неотрицательна и обладает положительным собственным вектором С помощью следствия 22.1.33 доказать следующие соотношения:

Здесь используется обозначение

Задачи к п.22.2

1. Пусть А >0, х — перронов вектор матрицы А и z — пер­ронов вектор матрицы АT. Доказать, что

2. Доказать, что если — верхняя треугольная мат­рица, имеющая k ненулевых диагональных элементов, то rank Показать на примере, что при этих условиях ранг может быть и больше чем k.

3. Теорию, развитую в этом параграфе, применить к матрице

и сравнить с выводами, полученными в § 22.0.

4. Рассмотреть модель миграции населения, описанную в § 22.0, в общем случае п > 2 городов. Пусть все коэффициенты миграции аij положительны. Каково асимптотическое поведение вектора распределения населения при

5. Пусть А> 0. Подробно описать асимптотическое поведе­ние матрицы Ат приУказание. Есть три случая: , Ат расходится и Ат сходится к какой-то положительной мат­рице. Охарактеризовать и исследовать каждый из этих случаев.

6. В упражнении после следствия 20.1.8 рассматривается не­которая положительная 2×2-матрица. Обсудить этот пример в свете упражнения, следующего за теоремой 22.2.2.

7. Пусть и Используя минимаксную характеризацию доказать неравенство Ука­зание. Если х — перронов вектор для А, то

8. Доказать, что если A>0 и х — перронов вектор для A, то

Напомним, что по определению

9. Показать, что если положительная матрица невырожден-на, то обратная к ней матрица не может быть неотрицатель­ной. Доказать, что если неотрицательная матрица А невырожденна, то обратная к ней матрица может быть неотрицательной только в том случае, когда в А имеется в точности по од­ному ненулевому элементу в каждой строке и в каждом столб­це. Каким образом такая матрица связана с матрицей переста­новки?

10. Продумать детали следующего иного доказательства тео­ремы 22.2.10. Если имеет алгебраическую кратность k > 1 и у и х — соответственно левый и правый перроновы век­торы матрицы А, то для какого-то ненулевого вектора z имеем Но тогда что не­возможно, так как Указание. Поскольку ρ имеет гео­метрическую кратность 1, жорданова форма для обла­дает в точности одним нильпотентным блоком, и его порядок не меньше 2. Показать, что любая нильпотентная матрица ранга k—1 такова, что если для не­которого то найдется вектор для которого

Задачи 22.3.

1. Показать на примерах, что утверждения теоремы Пер­рона 22.2.11, за исключением того, что вошло в теорему 22.3.1, в общем случае неверны для произвольных неотрицательных мат­риц. Указание. Рассмотреть матрицы и

2. Доказать, что если. и 0 для какого-то то А имеет положительный собственный вектор.

3. Пусть матрица имеет неотрицательный собствен­ный вектор, в котором компонент положительны и равны нулю. Доказать, что А перестановочно подобна матрице вида где при этом мат­рицы В, С, D неотрицательные и В имеет положительный соб­ственный вектор. Отсюда следует, что при матрица А разложима.

4. Рассмотреть такое обобщение следствия 22.1.30: если имеет неотрицательный собственный вектор то Показать на примерах, что это неверно.

5. Рассмотреть матрицу и вектор По­казать, что теорема 22.3.4 потеряет силу, если в ней ограничить­ся только условием Каковы левый и правый перроновы векторы для А?

6. Доказать, что если то положительная матрица В, коммутирующая с А, существует в том и только в том случае, когда А имеет левый и правый собственные векторы, причем оба положительные. Указание. Если х и у — положительные правый и левый собственные векторы для А, то положить Обратно, если. и то рассмотреть соотношения