Дискретно-непрерывная математика (стр. 30 )

Чаще всего этот результат применяется в классической (иду­щей из механики) ситуации, когда заданы две вещественные симметричные квадратичные формы, одна из которых положи­тельно определена.

21.6.5. Следствие. Если матрица положительно определена, а матрицаэрмитова, то найдется невырожден­ная матрица такая, что —диагональная матрица, а — единичная.

Упражнение. Найти замену переменных, превращающую обе квадратичные формы и во взвешенные суммы квадратов.

Аналогичный результат имеется для пары матриц, одна из которых положительно определена, а другая — комплексная симметричная. Этот результат также обобщается в теореме 18.5.15.

21.6.6.Теорема. Если матрица положительно опреде­лена, а — комплексная симметричная матрица, то най­дется невырожденная матрица С, такая, что обе матрицы С*АС и СТВС диагональны.

Доказательство. Выберем невырожденную матрицу так, чтобы Матрица симметрична, и из разложения Такаги (18.4.4) следует существование унитарной мат­рицы U, для которой матрица будет диаго­нальной. В то же время поэтому можно поло­жить

Этот результат имеет приложения в теории функций комп­лексного переменного; так, неравенства Грунского для одно­листных функций суть соотношения между квадратичными фор­мами, порождаемыми соответственно положительно определен­ной эрмитовой матрицей и комплексной симметричной матрицей.

Следующее утверждение непосредственно вытекает из след­ствия 21.6.5.

21.6.7. Теорема. Функция рассматриваемая на выпуклом множестве положительно определенных эрмитовых матриц из Мп, строго вогнута.

Доказательство. Для любых двух заданных положительно определенных матриц нужно проверить справедливость неравенства

(21.6.8)

при всех при этом равенство должно достигаться

только в случае А=В. Опираясь да следствие 21.6.5, найдем невырожденную матрицу такую, что

и причем все Теперь

Таким образом, достаточно показать, что для любой диагональ­ной матрицы Л с положительными диагональными элементами и для всехсправедливо неравенство

Но это легко следует из строгой вогнутости са­мой логарифмической функции:

Равенство в среднем переходе достигается тогда и только тогда, когда все равны 1, т. е. только для что соответствует

Теорема 21.6.7 часто используется в другой форме, получае­мой потенцированием неравенства (21.6.8). В этой форме она дает количественное выражение того факта, что выпуклая ком­бинация положительно определенных матриц сама положи­тельно определена и, следовательно, должна быть невырожден­ной.

21.6.9. Следствие. Пусть матрицы положительно

определены, и пустьТогда

Равенство достигается в том и только в том случае, если А = В.

21.7. Упорядочение, индуцированное положительной полуопределенностью

Эрмитовы матрицы суть обобщения вещественных чисел, а положительно определенные матрицы — обобщения положитель­ных чисел. Естественно задаться вопросом, имеется ли удовлет­ворительное понятие неравенства или (частичного) порядка для эрмитовых матриц.

21.7.1. Определение. Пусть —эрмитовы матрицы. Будем писать если матрица положительно полу­определена. Точно так же записьозначает, что матрица положительно определена.

Упражнение. Показать, что введенное понятие неравенства согласовано с определением равенства между матрицами. Дру­гими словами, показать, что из и следует, что А=В.

Упражнение. Показать, что отношение транзнтивно и

рефлексивно, но не является линейным порядком, т. е. суще­ствуют эрмитовы матрицы такие, что не выполняет­ся ни ни Такой порядок называют частичным.

Частичный порядок на вещественном линейном пространстве часто задают, указывая конкретный замкнутый выпуклый конус: один элемент считается большим или равным другому, если их разность принадлежит этому конусу. В данном случае веще­ственным линейным пространством является множество эрми­товых -матриц, а замкнутым выпуклым конусом — множе­ство положительно полуопределенных матриц. Понятно, что это обобщает знакомую ситуацию, когда в роли вещественного про­странства выступает R, а замкнутый выпуклый конус образован неотрицательными числами. В случае R мы получаем «обыч­ный» порядок (причем линейный, а не только частичный).

Аналогичным образом можно ввести другие определения «неравенства» между матрицами (наиболее важное из них — по­элементное доминирование для вещественных матриц): указы­вают конус матриц, обобщающий множество неотрицательных чисел, и говорят, что матрица А «больше или равна» матрице В, если разность А — В принадлежит этому конусу. Вообще го­воря, контекст может подсказывать различные определения «неравенства»; полезность конкретного определения зависит от того, как далеко можно распространить аналогию с вещественными числами и насколько учитываются другие относящиеся к делу неравенства (например, между собственными значениями, определителями и т. д.).

Обратим внимание, что положительная (полу)определен­ность матрицы А эквивалентна неравенству здесь 0 — нулевая матрица того же порядка, что и А.

Упражнение. Подтвердить примером, что частичное упорядо­чение, индуцированное положительной полуопределенностью, от­личается от линейного упорядочения вещественных чисел в сле­дующем отношении: если.В и А не равна В, то это не зна­чит, что

Теперь мы продемонстрируем некоторые свойства упорядо­чения, индуцированного положительной полуопределенностью; каждое из них можно рассматривать как обобщение соответ­ствующего свойства обычного упорядочения вещественных чи­сел. Сходство между этими упорядочениями, вообще говоря, до­вольно сильное.