Дискретно-непрерывная математика (стр. 81 )

Действительно, если в одном из детерминантов кубической матрицы п-го порядка например в детерминанте

все п сечений ориентации (і) одинаковы, то в силу разложения (3.5) имеем:

Теорема 3.2. Кубический детерминант равен нулю, если все его строки одного из альтернативных направлений, содержащиеся в двух каких-нибудь сечениях одной и той же ориентации, кратны одной из этих строк (Гедрик).

В самом деле, пусть в кубическом детерминанте п-го порядка с какими-нибудь двумя альтернативными индексами, например в детерминантевсе строки одного из альтернативных направлений, например (k), содержа­щиеся в двух каких-нибудь сечениях ориентации (i) или (j), кратны одной из этих строк. Тогда каждый из п! обычных детерминантоввходящих в разложение (3.5) рассматриваемого кубического детерминанта, будет равен нулю, так как две строки его матрицы вида (3.1) пропорциональны. Следовательно,

4. Переходя к вопросу о вычислении многомерных детерминантов, осно­ванном на выражении их через детерминанты низшего порядка, мы будем рассматривать главным образом кубические детерминанты. Вводимые при этом понятия и получаемые результаты легко распространяются на детер­минанты любого числа измерений (упражнения 11, 12, 14).

Выделим и кубической матрице п-го порядка

какие-нибудь v сечений ориентации (i), v сечений ориентации (j) и v сечений ориентации (k) соответственно с номерами

идущими в возрастающем порядке, причемОбщие всем выделенным сечениям элементы, число которых равно v3, образуют минорную куби­ческую матрицу порядка v.

Каждый элемент матрицы А является, таким образом, минорной матри­цей 1-го порядка, а сама матрица А — минорной матрицей п-го порядка. Детерминант минорной матрицы v-гo порядка с той или иной сигнатурой называется минором v-го порядка косигнатурного детерминанта основной матрицы А. Можно сказать также, что минор порядка v данного кубиче­ского детерминанта п-го порядка с той или иной сигнатурой есть косигна-урный детерминант, получающийся после вычеркивания в данном детерми­нанте по п — v сечений каждой ориентации. В частности, вычеркивая в кубическом детерминанте п-го порядка по одному сечению каждой ориен­тации, получим минор (п— 1)-го порядка; с другой стороны, минором 1-го порядка будет отдельный элемент детерминанта. Минором п-го порядка является сам детерминант. Кубический детерминант п-го порядка имеет, очевидно, миноров порядка v или п —v.

Пусть М — какой-нибудь минор порядка v данного кубического детер­минанта п-го порядка с той или иной сигнатурой. Если мы вычеркнем в последнем те сечення ориентации которые содержат элементы минора М, то получим минор (п— v)-гo порядка М', называемый дополни­тельным минором для М. Если мы вычеркнем, наоборот, те сечения ориен­тации в которых расположены элементы минора М', то оста­нется, очевидно, минор М. Таким образом, М и М' составляют пару взаимно дополнительных миноров данного детерминанта. В частности, элемент данного детерминанта и минор (п—1)-го порядка, получающийся вычерки­ванием в детерминанте сечений ориентации соответственно с номерами будут составлять пару взаимно дополнительных миноров.

Если элементы минора v-гo порядка М детерминанта

содержатся в сечениях ориентации (j) с номерами и в сечениях ориентации (k) с номерами а М' есть минор, дополнительный для М, то выражение

(3.21)

где

,

называется алгебраическим дополнением минора М.

(Если—номера сечений ориентации (j) и (k), в которых содержатся элементы минора М', то

Следовательно, имеем также )

Аналогично определяются алгебраические дополнения миноров детерми­нантов

Алгебраическое дополнение минора v-гo по­рядка М перманента

совпадает с дополнительным для М мино­ром М'.

В частности, алгебраическим дополнением элемента в детерминанте будет выражение

(3.22)

где — дополнительный минор для в этом детерминанте.

Подобным же образом выражаются алгебраическпе дополнения элемента в детерминантахи Алгебраическое дополнение элемента в перманенте совпадает с дополнительным минором для в этом перманенте.

Распространяя введенные нами понятия на р-мерную матрицу п-го порядка

и ее детерминанты, выделим в этой матрице по каких-нибудь сечений каждой из ориентации Тогда общие всем выделенным сечениям элементы, число которых равно vp, образуют минорную р-мерную матрицу порядка v. Ее детерминант с той или иной сигнатурой называется минором v-го порядка косигнатурного детерминанта основной матрицы А (Таннер). Дополнительный минор и алгебраическое допол­нение для минора v-гo порядка какого-либо из детерминантов матрицы А определяются так же, как и в случае кубической матрицы.

5. Докажем следующую лемму, необходимую для вывода формул раз­ложения любого из детерминантов кубической матрицы по какому-нибудь его сечению.

Лемма 3.1. Алгебраическая сумма всех членов кубического детерми­нанта, содержащих какой-нибудь его элемент, равна произведению этого элемента па его алгебраическое дополнение.

Доказательство проведем для одного из кубических кодетерминантов, например для детерминанта

Рассмотрим сначала члены этого детерминанта, содержащие главный элемент А111. Возьмем один из них

где Ij, Ik — числа инверсий в перестанопках

а следовательно, и в перестановках

Поэтому произведение

является одним из членов минора М111, дополнительного для элемента А111. Наоборот, произведение любого члена разложения минора М111 на А111 является членом детерминанта. Таким образом, алгебраическая сумма всех членов детерминанта