Дискретно-непрерывная математика (стр. 133 )

(2.10)

где

(2.11)

Для матрицы (2.10) имеем:

(2.12)

Следовательно,

(2.13)

Далее находим:

Следовательно,

(2.14)

Пусть J0 имеет определенное конечное значение. Полагая тогда

где вследствие неравенства (2.11) находим из (2.13) и (2.14)

(2.15)

Дискриминант уравнения (2.15) с точностью до числового множителя равен Еслии, следовательно, инвариант J0 отличен от — 1 и 0, а I от —1, то этот дискриминант не равен нулю и урав­нение (2.15) имеет три различных корня, которым соответствуют три раз­личные пары значений р, q, определяемых формулами

. (2.16)

(Мы ограничиваемся выбранными значениями квадратных корней, так как при других значениях их достаточно подвергнуть матрицу (2.10) операциям

и, быть может, еще операциичтобы получить матрицу того же вида, в которой элементы р, q имеют вышеуказанные значения.)

Подставляя любую из этих пар в матрицу (2.10) и подвергая послед­нюю операциям

(2.17)

где получим соответственно двум значениям t две матрицы того же вида, в которых элементы р, q представляют остальные две из упомянутых выше пар. Таким образом, для канонического вида матрицы (2.10) можно взять пару значений р, q, определяемых в зависимости от любого корня уравнения (2.15). Соответствующая каноническая форма имеет вид

(11а)

Ее абсолютный инвариант I может иметь любое значение, отличное от причем, если I = 0, то

Дискриминант уравнения (2.15) равен нулю, и оно, следовательно, имеет кратный корень, если L0 = 0 или L0 = — L.

При L0 = 0, когда J0=—1, уравнение (2.15) имеет простой корень и двукратный корень В этом случае и мы имеем:

(2.18)

и

(2.18')

Однако, если элементам р, q в матрице (2.10) мы дадим значения (2.18'), то операциями (2.17), где получим новую матрицу того же вида, в которой элементы р, q определяются формулами (2.18), причем в выражении для q можно ограничиться одним значением корня 4-й степени, так как, подвергая полученную матрицу операции или операциям

мы изменим в ней только элемент q, умножаемый в первом случае на — 1, а во втором — на Таким образом, каноническая форма сохраняет вид (11а), где только элементы р, q определяются формулами (2.18).

При когда уравнение (2.15) имеет трехкратный корень Если то и мы можем ограничиться одной парой значений элементов р, q в матрице (2.10):

Но тогда матрица (2.10) операциями

приводится к виду, которому соответствует каноническая форма

(12а)

Для нее

Если то и каноническая форма сохраняет вид (11а), где р и q определяются формулами (2.16), в которых надо положить

Предполагая теперь, что J0 не имеет определенного конечного значе­ния, находим при из формулы (2.14)

А тогда из формулы (2.13) получим:

(2.19)

откуда следует, что I имеет определенное конечное значение, не рав­ное нулю.

Переписывая выражение (2.19) в виде

(2.19')

и повторяя те же рассуждения, что и при исследовании корней уравнения (2.15), мы снова придем к канонической форме (11а) с коэффициентами р и q, определяемыми формулами (2.16), где q = 0 вследствие

При из формулы (2.14) находим q = 0. В этом случае, так же как и раньше, можно ограничиться одной парой значений р = 0, q = 0 в матрице (2.10). Тогда имеем каноническую форму (11а), в которой коэффициенты р, q — нули.

Для нее

п° 2. Пусть

Тогда в матрице (2.1), кроме имеем или

Если при D223 = 0 будеттовследствие не-

приводимости соответствующей формы. Подвергая тогда матрицу (2.1) oпeрации приведем ее к виду

(2.20)

где

Для матрицы (2.20) имеем:

откуда заключаем, что

Далее находим:

Отсюда получаем:

где можно ограничиться, очевидно, одним значением квадратного корня. Таким образом, каноническая форма соответствующая матрице (2.20), имеет вид

(13а)

где J0 может иметь любое значение, отличное от кроме того, если так как Если же то и мы имеем каноническую форму