Дискретно-непрерывная математика (стр. 19 )

Так как всето из определения 15.4.12 очевидно, что этот максимум в точности равен значению нормы, двойственной к на векторе Теорема двойственности 15.5.14 гарантирует, что вторая двойственная норма совпа­дает с исходной, поэтому

Итак,для любой матрицыоткуда следует, что функция действительно является нормой, а потому удовлетворяет неравенству треугольника. Этот вывод за­одно оправдывает употребленное нами обозначение, поскольку по теореме двойственности Итак, функция определенная посредством симметричной калибровочной функции на самом деле двойственна к норме

Важный и хорошо известный пример симметричных калиб­ровочных функций на дает семейство -норм (см. 15.2.4),

Применяемые к сингулярным числам матрицы, как это описано в теореме 21.4.24, lр-нормы порождают на унитарно инвариантные нормы, называемые р-нормами Шаттена. Случай р = 2 соответствует евклидовой норме

предельный случай (при — спектральной норме

случай р = 1 — следовой норме

Следовая норма естественным образом появилась в примере 217.4.6, когда рассматривалась задача аппроксимации данной квадратной матрицы скалярным кратным унитарной матрицы. Другое семейство симметричных калибровочных функций на также включающее в себя следовую норму и спектральную норму, указано в (21.4.44).

21.4.26. Пример. Сингулярные числа играют важную роль в выводе неравенства Виландта, дающего геометрическое истол­кование числа обусловленности квадратной невырожденной мат­рицы относительно спектральной нормы.

Пусть —невырожденная матрица; положим и обозначим сингулярные числа матрицы А через Собственные значения положительно определен­ной матрицы В (расположенные, как обычно, в порядке возрас­тания) суть Пусть — произволь­ная ортонормированная пара векторов; определим матрицу

и пусть ее собственными значениями будут Теорема Пуанкаре 14.3.16 при дает

или

Для наших целей интерес представляет лишь такое следствие этих неравенств:

(21.4.27)

Крайние соотношения превращаются в равенства, если в каче­стве х и у взять ортонормированные собственные векторы мат­рицы В, отвечающие собственным значениям, которые совпа­дают с квадратами соответственно наибольшего и наименьшего сингулярных чисел матрицы А. Теперь вычисляем

(21.4.28)

В последнем переходе равенство имеет место тогда и только тогда, когда для ортонормированных векторов х, y Cn спра­ведливо соотношение Преобразуем полученное не­равенство в эквивалентное:

(21.4.29)

Верхняя граница в (21.4.29) является монотонно возрастающей функцией отношения (как легко показать, замечая, что

производная функции положительна при

t > 0). Согласно (21.4.27), это отношение ограничено сверху ве­личиной следовательно,

(21.4.30)

Здесь введен положительный параметр

представляющий собой число обусловленности матрицы А относительно спектральной нормы (или спектраль­ное число обусловленности). Пусть — ортонормированные собственные векторы матрицы В, отвечающие соответ­ственно собственным значениям Если положить

то система ортонор-

мирована, и по-

этому в (21.4.30) достигается равенство.

Определим угол θ из первого квадранта формулой тогда

и (21.4.30) можно переписать в виде

(21.4.31)

Замечая, что левая часть этого соотношения есть однородная функция степени 0 от каждого из аргументов х и у, мы можем, наконец, сформулировать неравенство Вилаидта. Приведем две его эквивалентные формы.

21.4.32. Теорема. Пусть — заданная невырожденная

матрица со спектральным числом обусловленности, и пусть угол θ из первого квадранта определен формулой Тогда для любой пары ортогональных векторовсправедливо неравенство

(21.4.33)

Символ обозначает евклидово скалярное произведение; черезобозначена евклидова норма. Кроме того, существует пара ортонормированных векторов для которой в (21.4.33) достигается равенство.

21.4.34. Теорема. Пусть — заданная положительно

определенная матрица с собственными значениями

Тогда для любой пары ортогональных векторов справедливо неравенство

(21.4.35)

Кроме того, существует пара ортонормированных векторов для которой в (21.4.35) имеет место равенство.

Доказательство. Неравенство (21.4.33) получается из (21.4.31) подстановкой Неравенство (21.4.35) получается из

(21.4.30), если подставить и вспомнить, что всякую