Дискретно-непрерывная математика (стр. 131 )

Таким образом, аффинно-проективные преобразования матрицы А влекут за собой элементарные преобразования матрицы R0, не влияющие на ее ранг.

Теорема 2.4. Выражения

где S и Т — относительные инварианты веса 4 и 6 формы f, являются абсолютными алгебраическими инвариантами по отношению к аффинно-проективным преобразованиям формы f и соответствующей матрицы А.

Действительно, операция над матрицей А, равносильная невырожденному линейному преобразованию формы f:

где l, т, п образуют последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3, сопровождается умножением S на t4, T на t6, а также умножением на на наи на на на t15 при m = 1 или т = 2 и умножением |С0| на t0, |С1| на t2, |K0| на t4, и нана на t6 при т = 3.

А это не изменяет выражений, упоминаемых в теореме.

Операция над матрицей А, равносильная невырожденному линейному преобразованию

не вызывает изменений а следовательно, и выражений

Замечание 2.1. Абсолютные инварианты не являются независимыми между собой (упражнение 1) и, как увидим далее, входят и состав полной системы инвариантов формы f по отношению к группе всех аффинно-проективных преобразований.

3. Указанные выше аффинно-проективные инварианты (арифметические и алгебраические) дают возможность произвести аффинно-проективную классификацию кубических тройничных форм, разбивая проективные классы этих форм на аффинно-проективные подклассы. Установим предварительно канонические виды форм, представляющих эти подклассы. Для этого вос­пользуемся аффинно-проективными преобразованиями матрицы А формы f, приводящими ее к каноническому виду.

В комплексной области различаем четыре возможных случая в зависи­мости от четырех канонических пидов укороченной матрицы А0. Эти канонические виды (гл. IV, § 3, табл. IV) обусловлены следующими зна­чениями ранга (двумерного или трехмерного) r0 матрицы А0 и ранга матрицы

Рассмотрим эти случаи.

Случай (а), когда

Подвергая тогда матрицу А аффинно-проективным преобразованиям, приводящим матрицу А0 к виду (гл. IV, § 3, упражнение 5)

мы получим матрицу

которая операциями

приводится к виду

(2.1)

Если ранг (двумерный или трехмерный) r матрицы А равен 2, то все элементы матрицы (2.1) — нули и последняя приводится к каноническому виду (гл. IV, § 3, упражнение 6), которому соответствует канони­ческая форма

(1а)

Заметим, что ранг rC присоединенной матрицы С для этой формы равен 2. Кроме того, для формы (1а), очевидно,

Если же r=3, то различаем два варианта, смотря по тому, будет ли матрица

составленная для матрицы (2.1), иметь рангили

Вариант 1:

Тогда в матрице (2.1)и после операции

она принимает вид

(2.2)

Для матрицы (2.2) находим:

Если в матрице (2.2) то соответствующая форма имеет канонический вид

(2а)

Для нее

Следовательно,

Кроме того, присоединенная матрица С для формы (2а) имеет ранг rC = 4.

Если же в матрице (2.2) n = q = 0, a p =0, то

Следовательно, I=0.

Далее, находим

Отсюда получаем

гдеимеют, очевидно, конечные значения, отличные от нуля.

Таким образом, матрице (2.2) соответствует каноническая форма

(3а)

Для нее сложная квадратная матрица имеет ранг если иесли когда форма (3а) принимает вид

(4а)

Рассмотренные частные случаи имеют место, когда форма f приводима. Обращаясь к общему случаю, когда форма f неприводима, составим для матрицы (2.2) крадратную матрицу

детерминант которой равен

где

(2.3)

С помощью элементарных преобразований R0 приводится к матрице

откуда заключаем, что дефект δ матрицы R0 может иметь три значения: 0, 1, 3.

Далее, для матрицы (2.2) образуем квадратную матрицу

детерминант которой равен

и определим относительные инварианты

Следовательно,

Отсюда и из (2.3) находим:

(2.4)

причем π определяется из уравнения

(2.5)

(мы ограничиваемся одним значением квадратного корня, так как, подвергнув матрицу (2.2) операции получим новую матрицу, отличающуюся от прежней только знаками элементов п), где