Дискретно-непрерывная математика (стр. 60 )

В приложениях встречаются задачи с так называемыми комбинированными огра­ничениями, которые задаются линейными матричными неравенствами и линейными уравнениями. Например, рассматриваются области, определяемые условиями

или

для произвольного у. Каждое из этих ограничений может быть представлено одним линейным матричным неравенством. Действительно, обобщая эти случаи, рассмотрим условия

(5)

где - аффинное подмножество Rn, т. е.

- подпространство Пусть- базис в и пусть, как и в (2), Тогда

где Таким образом, удовлетворяет (5) тогда и только тогда, когда F(x) > 0, где х и связаны соотношением

Следующее свойство линейных матричных неравенств очень важно для преобразо­вания нелинейных неравенств в эквивалентные им линейные неравенства. Пусть сим­метрическая и невырожденная матрица М представлена в блочном виде

и блокневырожденный. Сделаем следующие выкладки

где разбиениесоответствует разбиению матрицы М. Отсюда следует, что М>0 тогда и только тогда, когда и Это утверждение носит название леммы Шура (см. леммы А.2 и А.3 в Приложении), а матрица S называется дополнением по Шуру матрицы М11 в матрице М. Непосредственным следствием этой леммы является следующее утверждение для линейных матричных неравенств.

Утверждение 1 Пусть- аффинная функция, которая представлена в блочном виде

где квадратная. Неравенство выполнено тогда и только тогда, когда

(6)

Отметим, что второе неравенство в (6) является нелинейным относительно пере­менных х. Таким образом, используя утверждение 1, нелинейные неравенства указан­ного вида могут быть преобразованы в линейные матричные неравенства. Кроме того, из этого утверждения также следует, что нелинейные неравенства вида (6) определя­ют выпуклые ограничения по переменным х.

В качестве примера преобразования нелинейного матричного неравенства в линей­ное матричное неравенство рассмотрим следующее квадратичное матричное неравен­ство Риккати, характерное для задач H∞-управления

(7)

Применяя лемму Шура, представим это неравенство в виде

Это означает, что нелинейное неравенство (7) является выпуклым по X, что было далеко не очевидно.

Еще один пример: матричное неравенствов силу леммы Шура эквивалентно линейному матричному неравенству

относительно матриц X и Y.

23.3. Основные задачи

Решение многих проблем в теории управления, как будет показано в последующих разделах, сводится к решению определенных математических задач, включающих линейные матричные неравенства. Из многообразия таких задач можно выделить три основные, которые эффективно решаются с помощью LMI Toolbox пакета MATLAB.

Задача разрешимости: существует или нет решение х линейного матричного неравенства F(x) > 0. Если нет, то задача называется неразрешимой.

Задача оптимизации с линейными матричными ограничениями: для вычислить

Эта задача включает нахождение ε-оптимального решения х, для которого F(x) > 0 и с заданной точностью ε.

Задача на обобщенное собственное значение: найти минимальноедля которого

где - аффинные функции.

Приведем несколько проблем, для решения которых применяются сформулирован­ные задачи.

Пример 1 Согласно теореме Ляпунова (см. лемму Е.1) линейная динамическая си­стема

(1)

где асимптотически устойчива, т. е. все собственные значения матрицы А лежат в открытой левой комплексной полуплоскости, тогда и только тогда, когда существует такая, что

Таким образом, асимптотическая устойчивость системы (1) эквивалентна разре­шимости следующего линейного матричного неравенства

Пример 2 Согласно теореме Ляпунова (см. лемму Е.2) линейная дискретная ди­намическая система

(2)

асимптотически устойчива, т. е. все собственные значения матрицы А лежат в от­крытом единичном круге комплексной плоскости, тогда и только тогда, когда суще­ствует такая, что

Таким образом, асимптотическая устойчивость системы (2) эквивалентна разре­шимости следующего линейного матричного неравенства

Пример 3 Уровнем гашения возмущений в устойчивом линейном объекте

на который действует ограниченное по норме L2 возмущение v(t), т. е.

называется величина

Как будет показано ниже, уровень гашения возмущений равен минимальному для которого справедливо линейное матричное неравенство

Пример 4. Пусть - аффинная функция. Рассмотрим задачу минимизации функции

Так как то, применяя лемму А.2, имеем

Если определить

то- аффинная функция, и задача минимизации максимального собственного значения матрицы F(x) эквивалентна минимизации функциипри ограничениях Таким образом, рассматриваемая задача сводится к задаче оптимизации с линейными матричными ограничениями.