Дискретно-непрерывная математика (стр. 50 )

14. Если то АВ и ВА имеют один и тот же на­бор собственных значений. Рассмотретьи и устано вить, что даже в случае неотрицательных А и В возможно, что АВ будет неразложимой, а ВА — разложимой. Этот пример по­казывает, что неразложимая матрица может быть подобна (и даже унитарно эквивалентна) разложимой матрице. Объяс­нить, почему. Мы также видим, что никакое условие, исполь­зующее только собственные значения, не может служить те­стом, однозначно выясняющим неразложимость.

15. Пусть задана неразложимая неотрицательная матрица Показать, что матрица неразложима, если матрица неотрицательна, и что если иЭто некоторое усиление теоремы 22.1.18 в сторону строгой монотонности — при дополнительном предполо­жении о неразложимости. Указание. Согласно теореме 22.1.18, В случае равенства, используя теорему 22.4.5, показать, что В = 0.

16. Показать, что лемму 22.4.1 можно уточнить следующим образом. Пусть матрица неотрицательна и ее минималь­ный многочлен имеет степень т. Доказать, что А неразложима в том и только в том случае, когда Указание. Рассмотреть и с помощью минимального многочлена выразить Ат и более вы­сокие степени через

17. Пусть задана неотрицательная матрица и рас­сматривается проблема ее аппроксимации матрицей ранга 1 в смысле метода наименьших квадратов, а именно: надо найти матрицу ранга 1, такую, что — матрица ранга 1}. Предположим, что для ААТ пер­ронов корень простой; так будет, если хотя бы одна из матриц неразложима. Почему? Доказать, что искомая мат­рица X неотрицательна, единственна и определяется формулой где — перронов корень для и — неотрицательные единичные собственные векторы соответственно для ААТ и АТА, отвечающие собственному значению r. Указание. Использовать характеризацню наилучшего однорангового приближения, установленную в примере 21.4.1. Заметить, что обе матрицы ААТ и АТА вещественны, симмет­ричны и положительно полуопределены, так что вычисление r, v и w — в принципе не очень трудная задача.

18. Используя задачу 17, найти наилучшее среднеквадратич­ное одноранговое приближение для каждой из матриц

Показать, что наилучшее среднеквадратичное одноранговое приближение для матрицы неединственно — таковым будетдля любого единичного вектора

Микромодуль 63

Примитивные и стохастические матрицы

22.5. Примитивные матрицы

Из всех результатов, отмеченных в теореме Перрона, наи­более часто применяемым на практике можно считать предель­ное соотношение из теоремы 22.2.8. Анализ теоремы 22.4.4 показывает, что есть только одно препятствие, не позволяющее при­менять лемму 22.2.7 к любым неразложимым матрицам, а именно отсутствие свойства, что спектральный радиус — это един­ственное собственное значение с максимальным модулем. Так, матрицаслужит примером неотрицательной неразложимой матрицы, имеющей два собственных значения с макси­мальным модулем не существует). Как видим, необхо­димы какие-то дополнительные ограничения класса неразложи­мых матриц; наиболее простой выход —потребовать именно то, чего нам недостает.

22.5.0. Определение. Неотрицательная матрица назы­вается примитивной, если она неразложима и обладает только одним собственным значением с максимальным модулем.

Понятие примитивности принадлежит Фробениусу (1912 г.). Теперь предельное соотношение вытекает сразу же из леммы 22.2.7 — с тем же доказательством, что и для теоремы 22.2.8.

22.5.1. Теорема. Если матрица неотрицательна и при­митивна, то

где

Более того, если собственное значение таково, что

для всех собственных значений и

то для некоторой постоянной имеемдля всех

Теперь все пункты теоремы Перрона, сформулированной для класса положительных матриц, обобщены на класс примитив­ных неотрицательных матриц. На практике, однако, еще тре­бует решения вопрос о проверке примитивности для заданной неотрицательной матрицы; в идеале можно рассчитывать на то, что это удастся сделать без явного вычисления собственных значений. Следующая характеризация примитивности не являет­ся сама эффективным для вычислений тестом, но приводит к не­скольким полезным критериям.

22.5.2. Теорема. Пусть матрица неотрицательна. Тогда А примитивна в том и только в том случае, когда для некоторого

Доказательство. Если и то из каждой вершины ориентированного графа Г(A) матрицы А в каждую другую вершину должен вести направленный путь, длина которого в точности равна m (см. следствие 20.2.18). Посколькуэто более сильное свойство по сравнению с неразложимостью, А должна быть неразложимой. Так же как в лемме 22.4.3, при­меним утверждения (d) и (е) теоремы Перрона 22.2.11 к Таким образом, устанавливается примитивность матрицы А. Обратно, если А примитивна, то согласно теореме 22.5.1, и поэтому для какого-то

Эта характеризация вместе с уже имеющейся информацией о максимальных по модулю собственных значе­ниях неотрицательных неразложимых матриц позволяет полу­чить графовый критерий примитивности, сходный с графовым критерием неразложимости. Напомним, что наибольший общин делитель (НОД) последовательности положительных целых чи­сел— это наибольшее целое такое, что k яв­ляется делителем для всех

22.5.3. Теорема. Пуешь матрица неотрицательна и не­разложима и обозначает множество вершин ориентирован­ного графа Г(A). Обозначим через множе­ство длин всевозможных ориентированных путей в Г(А), начи­нающихся и заканчивающихся в вершине