Дискретно-непрерывная математика (стр. 17 )

Здесь использована унитарная инвариантность сингулярных чисел и через τ обозначена перестановка множества Не ограничивая общности, можно считать, что сингулярные чис­ла пронумерованы по убыванию. Если перестановка τ не совпадает с тождественной, то найдутся индексы такие, что но Легко проверить, что сумма

не уменьшится, если изменить перестановку τ так, чтобы эти два сингулярных числа поменялись местами. Действительно, раз­ность между новым и старым значениями суммы равна

Таким образом, максимальное значение суммы достигается для тождественной перестановки τ; поэтому

(21.4.14)

Сингулярные числа обеих матриц А и В упорядочены по убы­ванию. Используя этот результат в нашей исходной экстремальной задаче, получаем, что для и

(21.4.15)

В частности, А тогда и только тогда будет «двусторонним вра­щением» матрицы В, когда А и В имеют одно и то же множест­во сингулярных чисел.

Упражнение. К чему сводится (21.4.15) при В = І? Сравнить с результатом, указанным в конце разбора примера 21.4.8. Что дает (21.4.15) в случае диагональной матрицы В ранга k? Срав­нить с комментариями в примере 21.4.1.

21.4.16. Пример. В качестве еще одного примера использова­ния сингулярных чисел рассмотрим вопрос о характеризации введенных ранее унитарно инвариантных матричных норм.

Определение. Векторная норма на называется унитарно инвариантной, если

для всехи любых унитарных матриц

Пусть матрица имеет сингулярное разложение

Тогда для всякой унитарно ин-

вариантной нормы Таким образом, на пространстве матриц с фиксированными размерами унитарно инвариантная норма за­висит только от множества сингулярных чисел матрицы.

Двумя хорошо известными примерами унитарно инвариант­ных норм являются евклидова норма (или норма Фробениуса) и спектральная норма. Обозначим через сингулярные числа матрицы Тогда

Пусть теперь — произвольная унитарно инвариантная норма на Природу ее зависимости от сингулярных чисел матричного аргумента определить нетрудно. Будет удобно счи­тать, что Положим и вве­дем блочную матрицу

Так как то суть син-

гулярные числа матрицы X. Определим функцию формулой

От нормыфункция наследует такие свойства:

(21.4.17) для всех посколькудля всех

(21.4.18)тогда и только тогда, когда это сле­дует из того, чтотогда и только тогда, когда X = 0.

(21.4.19) для всех и всех по­скольку для всех и всех

(21.4.20) для всехпоскольку для всех

Эти четыре свойства означают, что — векторная норма на ноимеет два дополнительных свойства:

(21.4.21) — абсолютная норма на как она определена в (15.5.9). Таким образом, если то Это равенство вытекает из того, что зависит только от сингулярных чисел матрицы X, а ими являются числа

(21.4.22) Если — матрица перестановки, то

для всех Действительно, множество сингуляр­ных чисел матрицы совпадает с множеством сингу­лярных чисел матрицы так как Функция зависит от множества абсолютных ве­личин компонент вектора х, но не от его упорядочения.

Упражнение. Для обсуждаемой матрицы

вычислить сингулярное разложение в яв­ном виде.

Упражнение. Если полагаем где

и определяем функцию

Показать, что если — унитарно инвариантная