Дискретно-непрерывная математика (стр. 46 )

т. е. максимальные по модулю собственные значения — это не что иное, как k корней из единицы степени k. Более того, если λ — произвольное собственное значение матрицы А, то тожебудет ее собственным значением для всех

Доказательство. Для каждого собственного значения из S за­пишем т. е. Предположим, что k>1, и, если потребуется, перенумеруем собственные значения и переопределим аргументы таким обра­зом, что В силу теоремы 22.4.5 при и находим.

Поскольку матрицы и А подобны, они

имеют одни и те же собственные значения, и установленное выше соотношение показывает, что множество собственных зна­чений для А переходит в себя при повороте в комплексной пло­скости на угол для всех —получаем по­следнее утверждение из тех, что требуется доказать (при усло­вии, что будет показано, что Далее, яв­ляется, как известно, алгебраически простым собственным зна­чением для А (вследствие неразложимости А), поэтому после­довательно рассматривая мы можем убе­диться в алгебраической простоте всех собственных значений

Однако удается доказать несколько большее. Имеем

для любого Поэтому должно найтись такое, что другими словами, для любого р существует такое, что (т. е.

и, значит, Далее, если мы

повторно применим теорему 22.4.5, взяв и

для произвольных r, т, где то получим для А представление

так что по аналогии с предыдущими рассуждениями множество собственных значений матрицы А переходит в себя при пово­роте комплексной плоскости на угол В частности, число должно быть собственным значением матрицы А (с максимальным модулем), так что для какого-то мы должны получить

Рассмотрим множество

Предыдущий абзац содержит информацию о том, что (а) (b) если то (с) если

то Кроме того, очевидно, что (d) если то

Таким образом, G есть абелева группа, содержащая ровно k элементов, с групповой операцией «сложение по модулю Так как порядок любого элемента в конечной абелевой группе является делителем порядка группы, каждое числодолжно быть корнем из единицы какой-то степени р, где—делитель числа k. Мы можем также доказать это — и нечто еще—без какого-либо применения тео­рии групп.

Поскольку для любых r, т и какого-то j имеем

по индукции (возьмем и т. д.) находим, что для всех значит,

для всех В тоже время, если бы

число не было корнем из единицы, то в S входило бы

бесконечно много различных элементов, чего быть не может. Таким образом, для некоторого имеем будем считать, что р обозначает наименьший индекс с таким свойством. Напомним, что и, зафиксировав какое-то т, рассмотрим Интервал разбивается в точности на р полуоткрытых подынтервалов (открытых справа) длиной с помощью точек и точка должна лежать на одном из них. Значит, для некоторого имеем или Следовательно, для какого-то мы должны получить потому что, как уже установлено, если является собственным значением, то собственным значением будет так же как и и Но тогда а было выбрано как наименьший ненулевой аргумент; зна­чит, Как видим, всякий аргумент есть какое-то кратное числа и должно быть р=k, т. е. поскольку в случае мы получили бы меньше чем k различных эле­ментов в множестве которое, тем не менее, должно совпадать с S. Наконец, так как всякое — кратное числа и существует k различных чисел и k различных кратных числа , приходим к заключению, что