Дискретно-непрерывная математика (стр. 127 )

6. Полученные результаты проективной классификации в комплексной и вещественной областях неособенных кубических тройничных форм и представляемых ими плоских линий 3-го порядка, не имеющих особых точек, сведены в таблицах I и II.

Таблица I

7. Обратимся теперь к установлению канонических видов особенных кубических тройничных форм, у которых согласно определению дискрими­нант R= 0, т. е. абсолютный инвариант І/ равен нулю или имеет неопре­деленный вид при этом, как и в случае неособенных форм, мы будем исходить из геометрических соображений.

Пусть линия С3, представляемая формой f, имеет особые точки. Будем различать случаи, когда С3 не распадается на линии низших порядков и когда С3 распадается на коническое сечение и прямую или на тройку прямых.

Случай I. Линия С3 — нераспадающаяся.

Известно, что всякая нераспадающаяся линия 3-го порядка, имею­щая двойную точку с двумя различными касательными, обладает тремя точками перегиба, лежащими на одной прямой, тогда как у линии с двой­ной точкой, где касательные совпадают, имеется только одна точка пере­гиба.

Предположим сперва, что касательные в двойной точке линии С3 раз­личны. Выберем проективную систему координат так, чтобы эти касатель­ные были сторонами координатного треугольника, а прямая, проходящая через три точки перегиба, была стороной этого тре­угольника. Пусть в выбранной таким образом системе координат линия С3 представляется формой

Тогда двойная точка будет иметь координаты (0, 0, 1), а три точки пере­гиба — координаты

гдеудовлетворяют условиям

(1.21)

Так как коническая поляра точки (0, 0, 1), определяемая уравнением

(1.22)

вырождается в рассматриваемом случае в совокупность двух прямых то

Приняв это во внимание и замечая, что координаты точек перегиба должны обращать в нуль гессиан формы f', получаем:

т. е.

(1.23)

Из равенств (1.21), (1.23) находим:

и так как из трех различных чисел по крайней мере два отличны от нуля, то

Таким образом, форма f' имеет вид

где, очевидно, так же как отличны от нуля.

Невырожденным линейным преобразованием

она приводися к каноническому виду

(1.24)

В вещественной области двойная точка с двумя различными касатель­ными будет узловой, если эти касательные вещественны, и изолиро­ванной, если они — мнимые сопряженные. Все три точки перегиба, из которых по крайней мере одна вещественна, лежат на одной и той же вещественной прямой. В случае узловой точки вce сказанное раньше сохра­няет силу и мы приходим к той же канонической форме (1.24). В случае изолированной точки выбираем проективную систему координат так, чтобы уравнения касательных в этой точке имели вид

где

— уравнения двух сторон координатного треугольника, третья сторона которого направлена по касательной в вещественной точке перегиба, принятой за вершину (1, 0, 0) координатного треугольника. Изолирован­ная точка будет иметь тогда координаты (0, 1, 0) и ее конической полярой будет совокупность двух мнимых сопряженных прямых

Так как последнее уравнение должно совпадать с уравнением

то

Далее, уравнение касательной в точке перегиба должно совпадать с уравнением

Следовательно, и гессиан формы f' с точностью допостоянного множителя представляется в виде

Так как координаты точки перегиба должны обращать это выражение в нуль, то

Таким образом, линия С3 в данном случае представляется формой где, очевидно, так же как и отличается от нуля.

Полагая

получаем каноническую форму

Предполагая теперь, что касательные в двойной точке линии C3 сов­падают, выберем проективную систему координат таким образом, чтобы сторонами координатного треугольника были: прямая соединяющая двойную точку с точкой перегиба, прямая с которой совпадают касательные в двойной точке, и прямая касательная в точке перегиба. Тогда двойная точка будет иметь координаты (0, 0, 1), а точка перегиба — (0, 1, 0).

Так как коническая поляра точки (0, 0, 1) вырождается в данном случае в пару совпадающих прямых то из ее уравнения, имеющего вид (1.22), если линия С3 представляется формой f', находим:

Далее, поскольку касательная в точке (0, 1, 0), имеющая уравнение совпадает с прямой то и гессиан формы f' с точностью до постоянного множителя представляется в виде

Так как координаты точки перегиба должны обращать это выражение в нуль, то

Таким образом, форма f' в рассматриваемом случае имеет вид

где, очевидно, так же как и отлично от нуля.

Невырожденным линейным преобразованием

она приводится к каноническому виду

(1.25)

В вещественной области точка перегиба будет вещественной, так же как и двойная точка — точка возврата. Вещественным будет и коорди­натный треугольник, выбранный как указано выше. Таким образом, мы приходим к одной и той же канонической форме (1.25) как в комплексной, так и в вещественной области.

Случай II. Линия С3 — распадающаяся на коническое сечение и прямую.

Предположим сперва, что коническое сечение С2 и прямая C1 на ко­торые распадается линия С3, пересекаются в двух точках.

Тогда прямую С1 принимаем за сторону координатного треугольника, у которого две другие стороны, направлены по касательным к коническому сечению С2 в точках пересечения его с пря­мой С1. Линия Сз относительно выбранной таким образом системы коор­динат представляется, как легко в этом убедиться, формой которая невырожденным линейным преобразованием