Дискретно-непрерывная математика (стр. 117 )

приходим к канонической матрице (ІІ).

В рассматриваемом случае матрица А эквивалентна одной из указан­ных канонических матриц, очевидно, как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.

Определив все канонические виды кубических матриц 2-го порядка, составим для них матрицы (3.1) и (3.3) гл. III. Будем иметь:

Таблица I

Арифметические инварианты канонических матриц указаны в ниже­следующей таблице.

Таблица II

Из таблицы II видим, что среди канонических матриц нет эквивалентных ни в поле комплексных, ни в поле вещественных чисел и что ни одна из этих матриц не эквивалентна в поле вещественных чисел канонической матрице (І').

Теорема, таким образом, доказана полностью.

Замечание 1.1. Если кубическая матрица 2-го порядка А и одна из канонических матриц эквивалентны (в обычном смысле) в поле комплексных или вещественных чисел, то А и любая из этих канонических матриц g-эквивалентны в том же поле.

3. Вводя для двойничных трилинейных форм, ассоциированных с кано­ническими матрицами

соответ­ственно обозначения будем иметь в поле ком­плексных чисел следующие канонические виды форм рассматриваемого типа

(1.7)

(1.8)

(1.9i)

(l.9j)

(1.9k)

(1.10)

В поле вещественных чисел к каноническим формам, кроме указан­ных выше, относится также форма

(1.7')

Приняв во внимание таблицу I, получим для каждой канонической формы полную систему комитантов (замечание 4.2 гл. III), сведенных в таблице III.

Таблица III

Изложенное выше дает возможность следующим образом классифици­ровать двойничные трилинейные формы, относя к одному и тому же классу все эквивалентные друг другу формы.

В комплексной области различаем, прежде всего, неособенные формы, у которых дискриминант ∆ не равен нулю, т. е. вторичные ранги (или rB) равны 2, и особенные формы, у которых ∆ = 0, т. е. все вышеупомянутые вторичные ранги меньше, чем 2. Представите­лем неособенных форм является каноническая форма (1.7).

Среди особенных форм выделяем те, которые не равны тождест­венно нулю, т. е. те, у которых двумерные ранги(или трёх­мерные ранги отличны от нуля, и формы, тождественно равные нулю, у которых эти ранги — нули. Затем особенные формы, не равные тождественно нулю, делим на два рода: I) неприводимые, пред­ставителем которых является каноническая форма (1.8) и у которых все коварианты (или Q) не равны тождественно нулю, т. е. все вторичные ранги(или rB) равны 1; II) приводимые, у которых некоторые или даже все коварианты равны тождественно нулю (или Q = 0), т. е. некоторые или даже все из вторичных рангов—нули (или rB= 0).

Далее, особенные приводимые формы подразделяем на два вида: час­тично приводимые, представителями которых являются канонические формы (1.9i), (1.9j), (1.9k) и у которых только один из ковариантов не равен тождественно нулю, т. е. один из вторичных рангов равен 1, а остальные два равны нулю; 2) полностью приво­димые, которые представляются канонической формой (1.10) и у которых все коварианты равны тождественно нулю, т. е. все вторичныеранги — нули.

Наконец, среди особенных частично приводимых форм различаем три типа форм в зависимости от того, какой из ковариантов не равен тождественно нулю, т. е. смотря по тому, какой из вторичных ран­гов равен 1, в то время как остальные два равны нулю.

Результаты классификации двойничных трилинейных форм в комплексной области представлены в таблице IV.

Та же классификация будет иметь место и в вещественной области, если только допустим распадение неособенных форм на два класса: 1а и 1б, в зависимости от знака дискриминанта ∆, т. е. в зависимости от абсолютных значений сигнатур матриц

К классу 1а отнесем неособенные формы, для которых т. е.

Представителем их является каноническая форма (1.7). К классу 1б отнесем неособенные формы, для кото­рых т. е.

Представителем их будет форма (1.7').

Эти дополнительные результаты классификации двойничных трили - нейных форм в в е щ ес т в е н н о й области сведены в таблице V.

Таблица V

Замечание 1.2. Двойничные трилинейные формы можно класси­фицировать также, относя к одному и тому же классу все g-эквивалентные друг другу формы. Тогда особенные частично приводимые формы, под­разделявшиеся на три класса, составят один g-класс, представителем которого может быть любая из трех канонических форм III таблицы IV.

4. В заключение остановимся на геометрической интерпретации коми­тантов полной системы для двойничной трилинейнойформы, являющихся ее алгебраической характеристикой при определении класса, которому принадлежит эта форма. Геометрическую интерпретацию упомянутых выше комитантов мы уста­новим, приравнивая их нулю и рассматривая переменные в каждом из трех рядов

как однородные координаты точки на прямой.

Известно, что уравнение

полученное приравниванием нулю неособенной двойничной билинейной формы, характеризует билинейное проективное соответствие между двумя системами точек прямой. Если билинейная форма — симметрическая, то это соответствие будет инволюционным. Подобно этому уравнение

(1.11)

полученное приравниванием нулю неособенной пли особенной неприводимой двойничной трилинейной формы

характеризует трилинейное проективное соответствиемежду тремя системами точек прямой, заключающееся в том, что каждой паре систем точек, произ­вольно выбранных на прямой, отвечает определенная третья система точек этой прямой. Для особенной приводимой (частично или полностью) двойнич­ной трилинейной формы это соответствие, очевидно, не имеет места.

Смотря по тому, является ли форма F неособенной или особенной не­приводимой, задаваемое ею трилинейное проективное соответствие будем называть неособенным или особенным.

Кроме того, будем различать три рода трилинейных проективных со­ответствий: I рода, если матрица А формы F — асимметрическая; II рода, если эта матрица — симметрическая относительно двух каких-либо индексов, и III рода (трилинейная инволюция), если А— симметрическая матрица.

Вводя неоднородные координаты

мы можем переписать уравнение (1.11) в виде

(1.12)