Дискретно-непрерывная математика (стр. 155 )

т. е.

(А.6)

Матрицы Х12 размера 0 размера удовлетворяющие этому равенству, построим следующим образом.

Так как

и ранг матрицы в правой части этого равенства в силу второго условия (А.4) равен r, то

Применяя лемму А.6 и учитывая, что матрица симметрическая и неотрицательно определенная, получим

где Представим правую часть этого равенства эквивалентно в виде

S

из которого следует, что условие (А.6) будет выполняться, если, например, выбрать

Таким образом, согласно лемме А.1 второе из условий (А.3) выполняется для данной Y11 и некоторых Справедливость первого условия (А.3) следует из того факта, что и

а, следовательно, согласно лемме А.2 имеем X > 0.

8 Пусть даны две матрицы и причем rank A <п. Тогда следующие два утверждения эквивалентны:

С1:

С2:

Доказательство. (С1 →C2) Разложим пространствов прямую сумму

где - ядро матрицы - образ матрицы А, и выберем соответствующий базис. По условию в этом базисе матрицы Q и могут быть представлены в следующем блочном виде:

Тогда для произвольногоимеем

если μ, выбрать так, чтобы

(С2→С1). Очевидно, т. к. для всех х, для которых

Приложение В

Линейные матричные уравнения

1 Если матричное уравнение

(В.1)

в котором А и С - матрицы порядков и разрешимо относительно неизвестной матрицы X порядка то среди его решений существует решение Х0 минимального ранга, для которого и это решение предста-вимо в виде

где V - некоторая матрица соответствующего порядка.

Доказательство. Пусть для конкретности первые rC столбцов матрицы С линейно независимы, а остальные столбцы являются линейными комбинациями первых. Это означает, что матрица С представима в виде

С = (C1 С2) , C2 = C1D

для некоторой матрицы D. Пусть - произвольное решение уравнения (В.1). Заметим, что столбцы блока Х1 линейно независимы, так как и столбцы матрицы С1 линейно независимы. Определим Тогда и в качестве решения минимального ранга может быть взята матрица

Из равенства АХ0=С следует, что строки матрицы С являются линейными ком­бинациями строк матрицы Х0. Так как то и, обратно, строки матрицы Х0 являются линейными комбинациями строк матрицы С, т. е. для некоторой матрицы V.

2 Матричное уравнение

(В.2)

разрешимо относительно неизвестной матрицы X тогда и только тогда, когда мат­ричные уравнения

(В. З)

разрешимы относительно неизвестных матриц Y и Z соответственно.

Доказательство. Если уравнение (В.2) имеет решение X, то, очевидно, что Y = ХВ и Z = АХ удовлетворяют уравнениям (В.3). Обратно, пусть существуют решения Y, Z уравнений (В.3). Тогда первое из этих уравнений имеет решение Y0 минимального ранга rC, которое согласно лемме В.1 представимо в виде Следовательно,

и матрица будет решением уравнения (В.2).

Приложение С

Линейные уравнения и псевдообратные матрицы

Пусть имеется линейное уравнение

(С.1)

в котором -матрица и - заданы, а - неизвестные переменные.

Если то и уравнение (С.1) имеет единственное решение

Если А - не квадратная или не полного ранга, то или или или оба эти множества будут нетривиальны. Рассмотрим возможные варианты.

Пусть т>п и rank А = п, т. е. столбцы матрицы А линейно независимы. Если тогда уравнение (С.1) имеет решение. Выразить его можно следующим образом: умножим (С.1) слева на и, учитывая, что в рассматриваемом случае матрица обратима, найдем решение

(С.2)

Если тогда уравнение (С.1) не имеет решений. В этом случае определяется "решение" в смысле метода наименьших квадратов, минимизирующее квадрат нормы отклонения левой части уравнения (С.1) от правой, т. е.

Для его получения представим и

Так как то