Дискретно-непрерывная математика (стр. 110 )

Составляя тогда выражения, аналогичные (5.1), для каждого из индек­совмы получим инвариантные множители матрицыа а за­тем и элементарные делители ее по любым двум индексам в виде степеней линейных множителей, входящих в состав инвариантных множителей. Пусть, например,

(5.3)

— все элементарные делители по двум индексам матрицы причем среди линейных множителей могут быть и пропорциональные друг другу, считаемые в этом случае одинаковыми. Особо важным во многих случаях является вопрос о показателях степеней линейных множителей. Для обозначения этих показателей, не пользуясь явной формой элементарных делителей, введем символ который будем называть характеристикой по индексамматрицы При этом в характеристике будем заключать в круглые скобки те из чисел которые являются показателями степеней одинаковых линейных множителей, и помещать малень­кие нули над показателями степеней одночленных элементарных делителей; кроме того (в случае поля вещестненных чисел), будем ставить черточку над каждым являющимся показателем степени мнимого линейного множителя. Так, например, характеристика по индексам матрицы имеющей элементарные делители по тем же индексам

напишется в виде Если матрица не имеет элементарных делителей по индексамто ее характеристика по этим индексам есть

Аналогично определяется характеристика по индексам или матрицы

Замечание 5.4. Если матрица — симметрическая, то ее характеристики по различным парам индексов одинаковы и могут быть объединены в одно понятие характеристики, этой матрицы.

Замечание 5.5. Данное выше определение элементарных делителей по каким-либо днум индексам матрицы можно заменить следующим определением, в которое не входит понятие об инвариантных множителях. Пусть r трехмерный ранг по каким-нибудь двум индексам, например j, k, матрицы и где 1≤v≤r, есть наибольший общий делитель порождаемых этой матрицей кубических миноров v-ro порядка с соот­ветствующей рангу r сигнатурой (i). Пусть, далее, — один из ли­нейных множителей a lv - показатель наивысшей степени этого множителя, входящей в разложение причем Введем в рассмотрение целые неотрицательные числа определяемые равенствами

Тогда те из выраженийв которых показатели отличны от нуля, будут элементарными делителями по двум индексам j, k матрицы соответствующими линейному множителю.

В качестве примера найдем все инвариантные множители, элементарные делители и характеристики полиномиальной кубической матрицы 2-го по­рядка

Tак как элементы матрицы — взаимно простые и порождаемые ею кубические миноры 2-го порядка с сигнатурами равны соответственно

то матрицаимеет:

3. Все понятия, связанные с пучком кубических матриц естественно переносятся и на пару матриц А, В, являющуюся базисом пучка.

Так, пара матриц А, В называется регулярной или иррегулярной, смотря по тому, будет ли пучок регулярным или иррегулярным. Одинаково определяются также инвариантные множители, элементарные делители и характеристики (по той или иной паре индексов) пучка и пары А, В.

Рассматривая пучок мы можем любые две матрицы

(5.4)

этого пучка, соответствующие значениям параметров принять за его базис, если только

(5.5)

Между элементарными делителями двух регулярных пар матриц, при­надлежащих пучку существует простое соотношение, выражаемое следующей теоремой.

Теорема 5.5. Если регулярная пара кубических матриц п-го поряд­ка А, В имеет элементарные делители по каким-либо двум индексам

(5.6)

то пара матриц (5.4), также регулярная при условии (5.5), имеет такого же типа элементарные делители

(5.7)

где

г) (5.8)

Действительно, образуем пучок матриц и, пользуясь выражением (5.4), представим его в виде

(5.9)

Так как не предполагаются одновременно равными нулю, то и при условии (5.5) также не равны одновременно нулю.

Не нарушая общности, можно считать и

Тогда пучок (5.9) переписывается в виде

(5.10)

где

Возьмем один из линейных множителей, входящих в состав элементар­ных делителей (5.6) регулярной пары матриц А, В, и обозначим его через Пусть — показатель наивысшей степени этого множителя, входящей в разложение наибольшего общего делителя порождаемых матрицей кубических миноров порядкас соответствующей сигнатурой, причем, очевидно, Тогда каждый минор v-гo порядка с такой же сигнатурой, порождаемый матрицей входящей в выражение (5.10), можно представить в виде