Дискретно-непрерывная математика (стр. 88 )

Отсюда, заменяя кубический детерминантна основании формулы (3.5) гл. I суммой п! квадратных детерминантов, составленных из его строк направления (k), находим:

(2.7)

гдеесть сокращенное обозначение квадратного детерминанта

Принимая во внимание формулу (2.2'"), имеем:

и так как правая часть последнего равенства может быть рассматриваема согласно правилу умножения квадратных детерминантов как произведение детерминантана детерминант матрицы а, то равенство (2.7) можно представить в виде

или, на основании той же формулы (3.5) гл. I, в виде

Аналогично доказывается равенство

Таким образом, имеем:

(2.8)

где — любые из индексовне равные друг другу, а — кубический детерминант матрицы А, взятый с сигнатурой

Равенство (2.8) и выражает произведение кубического детерминанта на квадратный в виде кубического детерминанта с многочленными эле­ментами. Например, если

то

Следовательно,

Вместе с тем имеем:

Отметим, что

т. е.

5. Правило Арменанта — Гарбиери легко обобщить на случай умноже­ния p-мерного детерминанта n-го порядка (род которого не равен нулю) на квадратный детерминант того же порядка (упражнение 9). Более широ­ким обобщением является правило Кэли — Раиса умножения детер­минантов любого числа измерений, если порядок их один и тот же и род каждого из них не равен нулю. Для вывода этого правила мы ограничимся рассмотрением умножения двух кубических детерминантов n-го порядка

где символами обозначены совокупности знаков + и ±, взятых в том или ином порядке над соответственными индексами. Умно­жение детерминантов любого числа измерений рассматривается аналогично (упражнение 11).

Возьмем для определенности детерминанты

(2.9)

и составим согласно формуле (2.6'") произведение по индексу i3 матрицы А детерминантана матрицу а детерминанта

(2.10)

Соответствующий матрице (2.10) четырехмерный детерминант n-го порядка

(2.11)

будет равен произведению детерминантов (2.9). Действительно, полагая

перепишем детерминант (2.11) в виде

Рассматривая в нем первые два индекса k1, k2 как один двукратный индекс с альтернативным k2, а последние два индекса k3, k4 как один двукратный индексс альтернативным k3, мы получаем полное разложение детерминантана сумму (п!)2 обычных детерминантов:

(2.12)

С другой стороны, разлагая каждый из кубических детерминантов (2.9) на сумму п! обычных детерминантов, находим:

и так как согласно правилу умножения обычных детерминантов

то

(2.13)

Сравнивая выражения (2.12) и (2.13), заключаем, что

т. е.

(2.14)

Транспонируя матрицы А и а по любым двум альтернативным индексам и принимая во внимание свойство II многомерных детерминан­тов (гл. 1, § 2), мы видим, что, кроме равенства (2.14), имеют место также следующие равенства:

(2.15) (2-16)

(2.17)

где, так же как и в (2.14), все индексы пробегают значения 1, 2, ..., п

Равенства (2.14) —(2.17) выражают произведение двух кубических детерминантов п-го порядка в виде четырехмерного детерминанта того же порядка с многочленными элементами, представляющими произведения соответствующих альтернативных строк перемножаемых детерминантов. То обстоятельство, что перемножаемые строки кубических детерминантов — альтернативные, является весьма существенным, так как умножение неальтернативных строк приводит к детерминанту, не выражающему произведения данных детерминантов, а умножение альтернативных строк одного детерминанта на неальтернативные строки другого, вообще, не дает в результате этой операции какого-либо детерминанта, поскольку число альтернативных индексов в произведении становится тогда нечетным.

6. Правило Кэли—-Раиса, очевидно, не распространяется на тот случай, когда хотя бы один из множителей рассматривавшегося выше произведе­ния является перманентом. Это ограничение устраняется правилом Скотта— Раиса умножения многомерных детерминантов одного и того же порядка с любыми сигнатурами.

Будем рассматривать те же кубические детерминанты n-го порядка (2.9), произведение которых мы получили в виде четырехмерного детерминанта п-го порядка с многочленными элементами, и покажем, что это же произ­ведение можно представить в виде пятимерного детерминанта п-го порядка с одночленными элементами. Общий случай умножения многомерных детерминантов одного и того же порядка с любыми сигнатурами рас­сматривается аналогично (упражнение 15).

Выделим в каждой из матриц

детерминантов (2.9) все сечения любой ориентации, например ориента­ции (i3) в матрице А и ориентации в матрице а. Умножая каждый элемент v-гo сечения ориентации (i3) матрицы А на каждый элемент v-гo сечения ориентации матрицы а, образуем v-e сечение ориентации (k3) пятимерной матрицы п-го порядка

где в каждом элементе

(2.18)

соединительные индексы i3, j1 рассматриваются как один двукрат­ный индекспринимающий одно из значений 11, 22, ..., пп. Состав­ленная таким образом матрица В имеет при п = 2 следующий вид:

Возьмем теперь тот детерминантматрицы В, в котором знаки над

индексами одинаковы со знаками над индексами детерминантов (2.9), а знак над индексом k3 будет + или ± , смотря по тому, имеют ли индексы i3, j1 этих детерминантов один и тот же или противоположный характер. Имеем тогда: