Дискретно-непрерывная математика (стр. 119 )

Действительно, если неособенная двойничная трилинейная форма F невырожденными линейными преобразованиями (1.19) приводится к кано­ническому виду (1.7), то уравнение (1.12), характеризующее трилинейное проективное соответствие, которому принадлежит тройка точек х, у, z, обратится в

(1.12а)

а уравнения (1.16), характеризующие билинейные инволюции, примут вид

(1.16а)

Исключая из уравнений (1.12а) и (1.16а), получим уравнение

соответствующее коварианту

канонической формы (1.7) и принимающее вид

(1.17')

после преобразований (1.20), обратных преобразованиям (1.19).

Если же (в вещественной области) форма F преобразованиями (1.19) приводится к каноническому виду (1.7'), то вместо уравнений (1.12а), (1.16а) будем иметь:

(1.12б)

(1.16б)

Исключая из уравнений (1.12б) и (1.16б), получим уравнение

соответствующее коварианту

канонической формы (1.7') и принимающее вид (1.17') после преобразо­ваний (1.20).

Таким образом, при условиях теоремы тройка точек во всех случаях принадлежит проективному соответствию, задаваемому ковариан­том Q формы F.

Тем же свойством обладает каждая из троек точек

в чем легко убеждаемся, исключая только одну из переменных из уравнения (1.12а) и одного из уравнений (1.16а) или (в вещественной области) из уравнения (1.12б) и одного из уравнений (1.16б).

Модуль 27.

Индивидуальные тестовые задания

Упражнения

1. Пользуясь таблицей III, проверить соотношение (4.8) гл. III, связывающее между собой основные комитанты двойничной трилинейной формы, данной в канони­ческом виде, и показать, что оно справедливо для любой формы каждого класса.

2. Показать, что для каждой пары классов двойничных трилинейных форм (табл. IV) сумма

первичного двумерного ранга форм одного из классов пары и вторичного ранга форм другого равна 2 (δ — любой

из индексов

3. Указать классы, которым принадлежат в вещественной области формы

4. Приняв во внимание указанные при доказательстве теоремы 1.1 элементарные преобразования кубической матрицы, приводящие ее к каноническому виду, найти невы­рожденные квадратные матрицы, на которые надо умножить по индексам мат­рицу каждой из форм упражнения 3, чтобы получить матрицу эквивалентной канони­ческой формы.

5. На прямой даны r троек точек, у которых неоднородные координаты удовлетворяют условию: ранг матрицы

равен r. Доказать, что трилинешюе проективное соответствие I рода определяется этими r тройками точек, где r=7 или r = 6, смотря по тому, будет ли это проективное соответ­ствие неособенным или особенным.

6. На прямой даны r троек точек, неоднородные координаты которых удовлетворяют условию: ранг одной из матриц

равен r. Доказать, что трилинейное проективное соответствие II рода определяется этими r тройками точек, где r = 5 или r=4, смотри по тому, будет ли проективное соответ­ствие неособенным или особенным.

7. На прямой даны r троек точек, неоднородные координаты которых удовлетво­ряют условию: ранг матрицы

равен r. Доказать, что трилинейная инволюция определяется этими r тройками точек, где r = 3 или r = 2 в зависимости от того, будет ли инволюция неособенной или особенной.

8. Найти предельные и тройные точки трилинейных проективных соответствий

9. Показать, что тройные точки трилинейной инволюции различны между собой, если инволюция — неособенная, и две из них совпадают, если инволюция — особенная.

10. Показать, что все тройные точки инволюции, задаваемой симметрической двой­ничной трилинейной формой над полем вещественных чисел, вещественны, если дискри­минант формы и одна из этих точек вещественна, а две — мнимые сопряженные, если ∆ < 0.

27.2. Классификация двойничных линейно-квадратичных форм

1. Классификация двойничных линейно-квадратичных форм в комп­лексной и вещественной областях впервые была дана Ольденбургером. Приводимая ниже классификация этих форм отличается от классификации Ольденбургера как методом приведения форм к каноническому виду, в основу которого положены элементарные преобразования соответственных куби­ческих матриц, так и инвариантной характеристикой полученных классов, более естественной для исследуемых форм.

Теорема 2.1. Всякая ненулевая кубическая матрица 2-го порядка, симметрическая относительно двух каких-нибудь индексов, эквивалентна в поле комплексных чисел одной и только одной из следующих канонических матриц (рис. 15). В поле вещественных чисел к каноническим матрицам, кроме указанных выше, относятся также матрицы рис. 16.

Рис. 15.

Рис. 16.

В самом деле, возьмем кубическую матрицу 2-го порядка

симметрическую относительно индексов j, k.

Если эта матрица не нулевая, но все элементы ее равны нулю, то по крайней мере один из элементов A112, A212 отличен от нуля.

Если то, подвергая матрицу А последовательно операциям

получим каноническую матрицу

Если же то и после операций

приходим к тому же результату.

Предполагая теперь, что не все элементы равны нулю, мы можем, не ограничивая общности, считать

Подвергая тогда матрицу А операциям

получим матрицу вида

(2.1)

Если в матрице (2.1) оба элемента — отличны от нуля, то операциями

она приводится к матрице вида

(2.2)

Если то составляем из элементов матрицы (2.2) по второй из формул (4.1) гл. III квадратичную форму Приравнивая ее нулю и полагаяполучим уравнение

(2.3)