Дискретно-непрерывная математика (стр. 34 )

Отсюда вытекает, что

Упражнение. Пусть—положительно определенные

матрицы. Показать, что

Обосновать всю цепочку неравенств

Упражнение. Для положительно определенной матрицы показать, что

Для неэрмитовой матрицы А с положительно определенной эрмитовой частью Н(A) имеется неравенство совершенно иного рода. Его можно рассматривать как обобщение следующего свойства комплексных чисел:

21.8.7. Теорема (Островский — Таусски). Если матрица такова, что матрица положительно

определена, то

Равенство достигается тогда и только тогда, когда А — поло­жительно определенная эрмитова матрица.

Доказательство. Пусть так что

Доказываемое неравенство эквивалентно такому:

Но матрица подобна косоэрмитовой матрице

и, следовательно, имеет только чисто мнимые собственные зна­чения. Заметим, что для любого вещественного числа t спра­ведливо неравенство Если —соб­ственные значения матрицы то

Для равенства необходимо и достаточно, чтобы все а это вследствие диагонализуемости косоэрмитовой матрицы рав­носильно тому, что

Важное детерминантное неравенство для суммы двух положительно определенных матриц принадлежит Минковскому. Его доказательство сходно с доказательством предыдущего ре­зультата.

21.8.8. Теорема (неравенство Минковского). Если матрицы положительно определены, то

Доказательство. Заметим, что обе части доказываемого не­равенства однородны и имеют одинаковую степень однород­ности. Умножая при необходимости неравенство слева и справа на можем считать, что А =I, и это не приведет к потере общности. Теперь нужно доказывать, что

Пусть —собственные значения матрицы В,

Требуемое неравенство эквивалентно такому:

Это неравенство допускает прямую проверку явным перемно­жением в обеих частях и почленным сравнением, использующим соотношение между арифметическим и геометрическим сред­ними.

Упражнение. Заполнить пробелы в доказательстве неравен­ства (21.8.8). Показать, что равенство в нем имеет место тогда и только тогда, когда В = сА для некоторого неотрицательного числа с.

Микромодуль 61

Индивидуальные тестовые задания

Задачи к п.21.5.

1. Показать, что если матрицы Н(А) (эрмитова часть мат­рицы А) и В положительно определены, то положительно опре­делена и матрица

2. Пусть —положительно полуопределенная матрица. Показать, что матрица также положительно полуопределена. Указание. Рассмотреть произведение

3. Пусть — положительно полуопределенная матрица. Показать, что матрица положительно полуопределена для любого

4. Если матрица положительно полуопреде­лена, то все натуральные адамаровы степени и адамарова матрица квадратов абсолютных величин также положи­тельно полуопределены. А что можно сказать об адамаровой матрице абсолютных величин

(a) Пусть матрица положительно определена. Поль­зуясь детерминантным критерием (теорема 21.2.5), дать для п =1, 2, 3 прямое доказательство положительной определенности матрицы |А|. Доказать при тех же п аналогичное утверждение для положительно полуопределенной матрицы A, используя предельный переход.

(b) Используя то обстоятельство, что функция положительно определена (или же представляя cos x в виде

и вычисляя квадратичную форму явным

образом), показать, что матрица положительно полуопределена для любого выбора точек и для всех п = 1, 2.....

(c) Пусть п = 4; положим

Вычислить для этого случая указанную в (b) матрицу А (обязательно положительно полуопределенную) в явном виде. Обратить внимание, что она будет тёплицевой матрицей. Вычис­лить и показать, что матрица не может быть положительно полуопределенной.

5. Для матрицы из задачи 4 проверить, что матрица

дает пример положительно полуопределенной матрицы, неотрицательный «адамаров квадратный корень» ко­торой незнакоопределен. Сопоставить это с ситуацией для обыч­ного квадратного корня

6. Рассмотреть следующую матрицу

Показать, что А положительно полуопределена, но это неверно в отношении матрицы |А|.

7. Пусть К(х, у)—интегральное ядро, непрерывное на квад­рате Показать, что для положительной полуоп­ределенности ядра К(х, у) необходимо и достаточно, чтобы мат­рица была положительно полуопределенной при любом выборе точек и всех п=1, 2, ... . Указа­ние. В доказательстве достаточности матричного условия ис­пользовать приближения интеграла римановыми суммами:

В доказательстве необходимости матричного условия рассмот­реть функцию

где —«приближенная дельта-функция», т. е. непре­рывна и неотрицательна, тождественно равна нулю вне проме­жутка и удовлетворяет требованию