Дискретно-непрерывная математика (стр. 77 )

Рис. 8.

Число пересечений построенных таким образом п отрезков имеет, очевидно, ту же четность, как и рассматриваемая подстановка (точка пересечения п отрезков считается за Сп2 пересечений). Возьмем теперь три горизонтали (рис. 9) и на каждой из них отметим по п точек, соответствующих значениям 1,2, ...,п индексов i, j, k, так, чтобы точки с одинаковыми значениями этих индексов лежали на одной и той же вертикали (рис. 9).

Pис. 9.

Тогда каждому элементу какой-нибудь транс­версали кубической матрицы n-го по­рядка можно сопоставить его график, представляющий, вообще говоря, ло­маную линию, которая, выходя из точки на первой горизонтали (i), соот - ветствующей значению i(α) индекса i этого элемента, проходит через точки сле­дующих горизонталей соответствующие значениям ­ индексов j, k. Построенные таким образом графики элементов трансверсали взаимно пересекаются, за исключением графиков элементов главной диаго­нали

представляющих собой вертикальные отрез­ки. Обозначая, как и раньше, число инверсий в перестановках, образуемых значениями индексов в элементах трансверсали, образующих произведение

соответственно через мы в силу рассмотренной выше диаграммы заключаем, что число Nij пересечений графиков этих элементов между го­ризонталями (i) и (j) будет той же четности, как и сумма а число Njk пересечений между горизонталями (j) и (k) — той же четности, как и сумма Отсюда следует, что число пересечений между гори­зонталями (i) и (k), равное имеет четность, совпадающую с чет­ностью суммы Таким образом, умножая упомянутое выше произведение элементов транс­версали на один из дополнительных множителей

мы получим соответственно член кубического детерминанта с одной из сигнатур

Так, из диаграммы (рис. 10), построенной по элементам трансверсали A124, A212, A333, A441 кубической матрицы 4-го порядка видим, что

Pис. 10.

Следовательно, выражение +A124A212A333A441 есть член детерминанта тогда как выражение — A124A212A333A441 является членом детерминантов

10. Детерминанты пространственной матрицы, число измерений кото­рой больше трех, определяются аналогично детерминантам кубической матрицы.

Возьмем в р-мерной матрице п-го порядка (1.3) какую-нибудь транс-версаль

(1.22)

где значения индексов в элементах этой трансверсали образуют некоторые перестановки из чисел 1, 2, . . ., п. Пусть какие-нибудь т (т — любое четное число, не превышающее р) индексов, например индексы —альтернативные, а остальные р — т индексов — неальтернативные. Обозначим через число инверсий в перестановке образуемой значениями альтернативного индекса —любое из чисел 1, 2,..., т), и умножим произведение элементов трансверсали (1.22) на дополнительный множитель

Получим выражение

(1.23)

где значения первого индекса і1, очевидно, можем предполагать идущими в натуральном порядке.

Составляя выражения вида (1.23) для каждой из трансверсалей матрицы (1.3) и беря их алгебраическую сумму, получим р-мерный де­терминант п-го порядка с сигнатурой которую сокращенно будем записывать в виде или смотря по тому, будет ли меньшим число альтернативных или неальтернативных индексов в данной сигнатуре.

Число т альтернативных индексов всегда предполагается четным, так как тогда и только тогда сохраняется коммутативность умножения. Это число определяет род р-мерного детерминанта. У р-мерной матрицы при р четном существует только один детерминант наивысшего рода р, когда все индексы — альтернативные. Его мы будем называть, следуя Кэли, гипердетерминантом. При р нечетном существует р детерминантов наивыс­шего рода р—1 с сигнатурами Детерминант наинизше­го рода О, когда все индексы — неальтернативные, обычно называют перма­нентом. Детерминанты, род которых больше нуля и меньше р, называют­ся согласно терминологии Вайдьянатхасвами смешанными.

Детерминанты (включая перманент) одной и той же пространственной матрицы объединяются общим названием кодетерминантов. Два кодетерминанта четного числа измерений будут союзными, если альтернативные индексы одного являются неальтернативными индексами другого, и наоборот.

Так, например, у четырехмерной матрицы 2-го порядка (1.4) детерми­нантом наивысшего рода 4 будет гипердетерминант

(1.24)

Союзным кодетерминантом является перманент

(1.25)

Кроме того, имеются три пары союзных кодетерминантов рода 2, из кото­рых отметим пару смешанных детерминантов

(1.26)

(1.27)

Детерминанты двух матриц, обладающие одной и той же сигнатурой, будем называть косигнатурными.

11. Обобщая для пространственной матрицы любого числа измерений указанный в п. 9 графический способ определения дополнительного множи­теля к произведению элементов данной трансверсали, нетрудно убедиться (см. упражнение 14), что в выражении члена

р-мерного детерминанта рода т с сигнатурой

показатель N определяется формулой

где есть число пересечений графиков элементов, входящих в выражение данного члена, между горизонталями и соответствующей диаграммы. Так, например, построив по элементам трансверсали

четырехмерной матрицы 4-го порядка

диаграмму (рис. 11), видим, что