Дискретно-непрерывная математика (стр. 135 )

(6б)

Для нее имеем:

(2.27)

откуда заключаем, что І может иметь любое значение, отличное от

Далее находим:

(2.28)

Отсюда, еслиполучаем:

(2.29)

Таким образом, J2, кроме неопределенного значения может иметь любое конечное значение, отличное от —1.

Еслито из выражения (2.28) имеем p = 0.

Тогда, как видно из формулы (2.27), Если же

то из выражения (2.29) находим:

(Здесь и в дальнейшем выражении р можем, очевидно, ограничиться одним зна­чением квадратного корня.)

Если при этом I = 0, то из выражения (2.27) получаем:

Подставляя последнее выражение для р в матрицу формы (6б), приходим после легких преобразований к матрице, которой соответствует канониче­ская форма

(7б)

Для нее

Вариант 2:

Тогда элементы (2.21) матрицы D имеют следующие значения:

,(2.30)

Если то и после очевидных операций получим матрицу, которой соответствует каноническая форма

(8б)

Для нее

Если же то и мы приходим к матрице, которой соответствует каноническая форма

(9б)

Для нее

В случае, когда D333 не обращается в нуль одновременно с или составляем матрицу

у которой дефект δ может иметь два значения: 3, 2.

Если то среди элементов (2.30) но и мы приходим при к канонической форме

(10б)

для которой и а при — к канонической форме

(11б)

для которой

Если жето среди элементов (2.30) и мы приходим при (тогда к канонической форме

(12б)

для которой и а при — к канонической форме

(13б)

причем

(2.31)

где

(2.32) Для формы (13б) имеем:

При Q = — 9 форма (13б) легко приводится к эквивалентной ей, более простой канонической форме

(14б)

Нетрудно убедиться, что выражение Q, определяемое формулой (2.31), является абсолютным инвариантом тех форм, которые принадлежат к типу, характеризующемуся инвариантами или

Случай (в), когда r0 = 1.

Тогда пo крайней мере один из элементов A111, A222 не равен нулю.

Пусть где α = 1 или α = 2.

Подвергая матрицу А операциям

где имеет одно из значений 1, 2, получим матрицу с элементами

Если ранг r матрицы А равен 1, то все элементы матрицы В, кроме равны нулю и мы имеем, совершая операцию

при α = 2, матрицу, которой соответствует каноническая форма

(1в)

Если, далее, то Если при этом то и матрица В после очевидных операций принимает вид, которому соответствует каноническая форма

(2в)

Для нее ранги матриц С и С2 имеют значения

Если же то матрица В приводится к виду, которому соответствует каноническая форма

(3в)

где

(2.33)

Если то Q0 = 0 и форма (3в) имеет вид

(4в)

Для каждой из форм (3в), где матрицы С и С2 имеют ранги

При Qo= — 4 форма (3в) легко приводится к эквивалентной ей, более простой канонической форме

(5в)

Для нее rC= 1.

Выражение Q0, определяемое формулой (2.33), является абсолютным инвариантом тех форм, которые принадлежат к типу, характеризующемуся инвариантами Для форм Если, наконец, r = 3, то матрица В, подвергнутая при α = 2 операции имеет вид

(2.34)

Составим для нее матрицу

Ранг этой матрицы может иметь три значения: 2, 1, 0.