Дискретно-непрерывная математика (стр. 73 )

В 1902 г. Калегари дал изложение некоторых уже известных свойств детерминантов высших измерений; другая его работа, опубликованная в 1904 г., посвящена разложению и умножению многомерных детерминантов бесконечного порядка. В 1906 г. Стетсон, обобщая результаты, найденные им для обыч­ных детерминантов, получил разложение кубического детерминанта одного частного вида и дал формулу, выражающую число членов этого разло­жения.

В 1910 г. Штернек обобщил теорему Кронекера, связанную с ком­позицией билинейных форм, на случай детерминантов высших измерений. В том же году опубликованы были лекции Лека по теории многомер­ных детерминантов и в 1911 г. его же краткий очерк этой теории, где, кроме собственных исследований Лека, даны в сжатом изложе­нии все опубликованные до того времени работы его предшественников с исправлением допущенных ими ошибок. Статьи 1912—1914 гг. посвящены детерминантам специальных типов.

В 1913 г. Феллини применил кубические детерминанты к решению системы п2 линейных уравнений с п неизвестными и дал формулы для вычис­ления ее корней, аналогичные формулам Крамера в случае системы п таких уравнений. Общий случай системы пр-1 (р ≥ 3) линейных уравнений с п неиз­вестными был исследован автором, давшим решения ее при помощи детерминантов р измерений. Им же в статье рассмотрен случай несов­местности этой системы и указаны формулы для приближенного вычисления ее корней.

Петерсен свою диссертацию, опубликованную в 1914 г., посвя­тила применению кубических детерминантов к исследованию приводимости двойничных и тройничных кубических форм и классификации их в комплекс­ной области,

В 1918 г. Райс обобщил понятие многомерных детерминантов, данное Кэли, введя так называемые смешанные детерминанты, и в по­следующих работах изложил их главнейшие свойства. Сме­шанные детерминанты детально были изучены Лека, рассмотревшим де­терминанты самой разнообразной структуры.

Пуччио в брошюре, изданной в 1923 г., рассматривал приложения кубических детерминантов к составлению инвариантов алгебраических форм нескольких неременных.

В 1925 г. Хичкоком было введено понятие упорядоченных многомерных детерминантов, элементы которых не обладают коммутативным свойством. Эти детерминанты были использованы им в работах, посвященных изучению полиадических полиномов.

Большая заслуга в систематизации накопившегося материала по теории многомерных детерминантов принадлежит Лека. Им опубликована в 1924 г. полная библиография по детерминантам высших измерений, доведен­ная до 1923 г. и продолженная в обзоре теории этих детерминантов до 1927 г. Появившаяся в 1929 г. другая его обзорная работа содержит краткое изложение приложений многомерных детерминантов к теории алге­браических форм и охватывает период с 1843 по 1923 г.

Установившаяся и общепринятая в настоящее время терминология и символика в теории детерминантов высших измерений представлена в работе Раиса, опубликованной в 1930 г., и в более поздней работе (1940 г.) Ольденбургера.

Наглядное обоснование теории кубических детерминантов (по существу, без теории подстановок) дано . Им же приведено дока­зательство теоремы, обобщающей известный признак обра­щения в нуль обычного детерминанта на случай многомерных детерминантов. С развитием теории детерминантов возникают новые понятия в области пространственных матриц, обобщающие соответственные понятия для дву­мерных матриц. Хичкок в 1927 г. ввел понятие рангов различных измерений для пространственной матрицы и отметил их инвариантные свойства.

Райс в 1928 г. обобщил элементарные преобразования двумерной матрицы для пространственной и установил связь между ее рангами.

В 1933—1934 гг. дал два новых арифметических инварианта кососимметрической и симметрической кубических матриц и указал на связь их (в виде неравенств) с известным арифметическим инва­риантом — рангом кубической матрицы. Более общий характер имеют даль­нейшие его работы и, особенно, работы 1944—1952 гг.

В 1954 г. Соколовым была указана полная система инвариантов сим­метрической кубической матрицы 3-го порядка над полем вещественных чисел.

Введение арифметических инвариантов пространственных матриц и применение матричных операций, упрощающих вычисления, значительно продвинули исследования в теории алгебраических форм. В 1932 г. Ольденбургер установил классификацию двойничных трилинейных форм в комплексной области, пользуясь теорией пар билинейных форм и инва­риантными свойствами кубической матрицы. В статье 1936 г. эта клас­сификация проведена только при помощи арифметических инвариантов и распространена на двойничные кубические формы. Работы 1937 г. посвящены вопросу об эквивалентности двойничных трилинейных форм в вещественной области. В то же время Ольденбургер, продолжая исследо­вания Хичкока и Раиса, опубликовал целый ряд работ о пространственных матрицах и ассоциированных с ними алгебраических формах, распространив многие результаты инвариантной теории двумерных матриц на матрицы р измерений (р ≥ 3).

В 1939 г. автором Соколовым были получены канонические виды двойничных трилинейных форм в комплексной и вещественной областях путем элемен­тарных преобразований соответствующих кубических матриц и указаны невырожденные линейные преобразования, с помощью которых формы при­водятся к каноническим видам как в комплексной, так и в вещественной областях. В статьях, опубликованных в 1954—1955 гг., в зависи­мости от полной системы инвариантов симметрической кубической матрицы 3-го порядка над полем вещественных чисел дана проективная классифи­кация кубических тройничных форм в вещественной области и — в качестве ее геометрической интерпретации—проективная классификация вещественных плоских линий 3-го порядка. Аффинно-проективная классификация этих форм и соответствующих им линий изложена в статьях. В работе [32], опубликованной в 1955 г., Соколов, обобщая известную теорию элементар­ных делителей двумерных λ-матриц на полиномиальные кубические матрицы, распространил полученные им ранее результаты применения пространствен­ных матриц к исследованию вещественных кубических тройничных форм на случай пар и ассоциированных с ними пучков этих форм и дал проектив­ную классификацию пучков вещественных плоских линий 3-го порядка в случае, когда характеристика соответствующей полиномиальной кубиче­ской матрицы наивысшая. В работе 1957 г. тем же путем проведена пол­ная классификация пучков кубических двойничных форм в вещественной области с соответствующей геометрической интерпретацией.

Микромодуль 66

Структура пространственной матрицы и ее детерминмнтов

24. 1. Определения

1. Пусть дано некоторое числовое поле Р. Как известно, всякая си­стема из п2 элементов поля Р, расположенных в точках плоскости с декартовыми прямоугольными координатами i, j, называется двумерной (квадратной) матрицей п-го порядка над полем Р.

Подобно этому любая система из n3 элемен­тов поля Р, расположен­ных в точках трехмерного пространства, опреде­ляемых координатами i, j, k, называется трех­мерной (кубической) матрицей п-го порядка над Р. Так, например, система 23 элементов

расположенных в виде куба (рис. 1), представляет кубическую матрицу 2-го порядка.

Рис. 1.

Кубическую матрицу п-го порядка с общим эле­ментом Aijk будем обозначать сокращенно символом

(1.2)

а в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, просто через А. (Если индексы i, j, k принимают соответственно значения

при l, т, п различных между собой, то трехмерная матрица, состоящая из lтп элементов, представляется в виде прямоугольного параллелепипеда.)

Вообще, любая система из пр элементов поля Р, расположенных в точках р-мерного пространства, определяемых коор­динатами образует р-мерную матрицу п-го порядка над Р

(1.3)

Такую матрицу в дальнейшем будем называть пространственной, если число измерений ее р можно предполагать каким угодно целым, большим двух.

2. Совокупность элементов матрицы (1.2) с фиксированным значением индекса i называется сечением ориентации (i). Все п сечений ориентации (i) в матрице (1.2) параллельны друг другу и являются обычными, двумерными матрицами п-гo порядка

Аналогично определяются сечения ориентации (j) и (k).

Совокупность элементов матрицы (1.2) с фиксированными значениями индексов j, k называется сечением (двукратным) ориентации (jk) или строкой направления (і). Все п2 строк этого направления параллельны друг другу и являются одномерными матрицами п-го порядка

где — фиксированные значения индексов j, k. Аналогично определяются строки направлений (j) и (k).