Дискретно-непрерывная математика (стр. 144 )

и будут иметь дискриминанты, не равные нулю, или только одна из них, и отмечая во втором случае, равен или не равен нулю инвариант L1, причем в случае, когда отмечаем также, имеет ли дискриминант пучка простые делители или все его делители — кратные. Пред­ставителями этих типов являются канонические пучки

То же подразделение категорий кубических двойничных форм на типы будет иметь место и в поле вещественных чисел, если только допустим распадение некоторых типов форм.

Так, в категории с характеристикой [(11)] тип, у которого дискрими­нанты форм отличны от нуля, распадается на два: тип с кано­ническим видом (II), если ∆<0, и тип с каноническим видом (II'). если В категории с характеристикой , тип, у которого одна из форм например f, имеет ранг r = 0, а другая форма φ обладает дискрими­нантом распадается на два: тип с каноническим видом (XVI), если и тип с каноническим видом (XVI'), если В категории с характеристикой [1] каждый из двух типов, у которых распадается на два: тип с каноническим видом (III) или (IV), если ∆ < 0, и тип с каноническим видом (III′) или (IV′), если точно так же каждый из двух типов, у которых одна из форм например f, имеет дискриминант и ранг а у другой формы φ дискриминант распадается на два: тип с каноническим видом (VI) или (VII), если и тип с каноническим видом (VI') или (VII'), если В категории

с характеристикой тип, у которого одна из форм например f, имеет дискриминант ∆ = 0 и ранг r =2, распадается на два: тип с канони­ческим видом (VIII), если и тип с каноническим видом (VIII'), если точно так же тип, у которого одна из форм например f, имеет дискриминант и ранг r=1, причем элементарный делитель пучка есть трехкратный делитель его дискриминанта, распадается на два: тип с каноническим видом (XV), если и тип с каноническим видом (XV), если В категории с характеристикой [0] тип, у которого распадается на два: тип с каноническим видом (V), если ∆ < 0, и тип с каноническим видом (V), если ∆ > 0.

Результаты классификации пучков кубических двойнич­ных форм (у которых не все формы равны тождественно нулю) в комплексной и вещественной областях сведены в нижеследующих таблицах.

Эту классификацию можно назвать строгой, поскольку принадлежность двух пучков одному и тому же классу влечет за собой принадлежность одному и тому же классу двух пар кубических двойничных форы, образующих базисы рассматриваемых пучков. Строгая классификация пучков равносильна классификации пар кубических двойничных форм, чего нельзя сказать о нестрогой классификации, допускающей при­надлежность одному и тому же классу двух пучков, базисы которыхсвя­заны соотношениями при условии, что

(упраж­нения 3, 4).

5. Полученным результатам дадим геометрическую интерпретацию; с этой точки зрения представляют интерес лишь неособенные пучки куби­ческих двойничных форм, принадлежащие категориям с характеристиками а также тем типам из категорий с характеристиками у которых элементарный делитель пучка является трехкратных» делителем его дискриминанта.

Теорема 1.6. Каждая из троек различных точек прямой, задаваемых кубическими двойничными формами неособенного пучка λf+λμφ, принадлежащего любой из категорий с характеристиками составляет с каждой из точек, задаваемых якобианом форм базиса пучка, эквиангармоническую четверку.

Действительно, беря канонический пучок (1), представляющий неособен­ные пучки кубических двойничных форм, принадлежащие категории с характеристикой [11], находим задаваемые этим пучком тройки различ­ных точек прямой

(1.35)

где

Якобиан форм

образующих базис пучка (I), равен

(1.36)

и определяет две различные точки прямой

(1.37)

Составляя двойное отношение каждой из этих точек с тремя точками (1.35), будем иметь:

Таким образом, получаем эквиангармонические четверки

Для канонического пучка (І′), представляющего неособенные пучки кубических двойничных форм, принадлежащие категории с характеристи­кой находим тройки задаваемых им различных точек прямой

где

причем

Якобианформ

базиса пучка (І′) определяет две различные точки прямой

В этом случае также имеем:

Аналогичный результат получим, рассматривая канонические пучки (XII), (XIII), представляющие неособенные пучки кубических двойничных форм, принадлежащие соответственно категориям с характеристиками и якобиан форм базиса каждого из пучков (XII), (XIII).

Теорема 1.7. Каждая из троек различных точек прямой, задаваемых кубическими двойничными формами неособенного пучка принадлежащего тем типам из категорий с характеристикамиу которых элементарный делитель пучка является трехкратным делителем его дискри­минанта, составляет гармоническую четверку с каждой точкой, задаваемой якобианом форм базиса пучка, отличной от точек рассматриваемой

тройки.

Для доказательства рассмотрим канонические пучки и и представляющие типы пучков, упоминаемые в теореме.