Дискретно-непрерывная математика (стр. 47 )

Мы полностью изучили случай для k = 1 то, что

здесь утверждается, тривиально.

22.4.7. Замечание. Если матрица неразложима и имеет k > 1 собственных значений с максимальным модулем, то вся­кое ненулевое собственное значение матрицы А лежит на ка­кой-то окружности с центром в 0 (в С), проходящей в точности через k собственных значений матрицы А, которые образуют на ней равномерную сетку. В частности, k должно быть дели­телем общего числа ненулевых собственных значений для А. Поэтому если-матрица А невырожденна, неотрицательна и неразложима, то в случае простого п может быть одно либо п собственных значений с максимальным модулем и ничего другого.

22.4.8. Следствие. Предположим, что матрица неотри­цательна и неразложима. Положим где

Если имеется ровно k > 1 собственных значений матрицы А с максимальным модулем, то если, m не есть целое кратное числа k. В частности,для всех i.

Доказательство. В силу следствия 22.4.6 число где является собственным значением для А, имеющим максимальный модуль. Чтобы было вещественным и

положительным, целое m должно быть кратным числа k. Ис­пользуя теорему 22.4.5 в случае и находим вследствии чего и

для всех і=1, ..., п и для всех т=1, 2, ... . Если не есть вещественное положительное число, то такое равенство при 0 невозможно. Поэтому, если m не делится на k, то для всех

Упражнение. Предположим, что матрица неотрицательна и неразложима. Показать, что для того, чтобы было единственным собственным значением матрицы А с мак­симальным модулем, достаточно выполнения условия для какого-то i. Вместе с тем рассмотреть матрицу

и установить, что это условие не является необходимым. Мож­но ли такой же пример найти среди матриц порядка 2?

22.4.9. Замечание. Справедлив результат, более тонкий, чем следствие 22.4.8. А именно, если матрица 0 неразложима и максимальный модуль имеют k >1 ее собственных значений, то для некоторой матрицы перестановки Р

где k нулевых блоков на главной диагонали квадратные и по­казанные в формуле блоки единственные, которые могут быть ненулевыми. В частности, равны нулю все диагональные элементы .

Регулярное расположение максимальных по модулю соб­ственных значений, описанное в следствии 22.4.6, существенно связано с предположением о неразложимости. Тем не менее, некоторую информацию можно получить в общем случае.

22.4.10. Следствие. Пусть и Если λ — собственное значение матрицы А, такое, что то

есть корень из единицы, для некоторого

и — собственное значение матрицы А для

Всех

Доказательство. В случае неразложимой матрицы А эти утверждения вытекают из следствия 22.4.6. Если А не является неразложимой, то она перестановочно подобна блочной верхней треугольной матрице

где для любого j блок есть квадратная матрица и она либо неразложимая, либо нулевая. Собственные значения матрицы А получаются объединением собственных значений диагональ­ных блоков а для каждого блока структура соб­ственных значений с максимальным модулем описывается след­ствием 22.4.6. Упражнение. Рассмотреть матрицу

где,

и убедиться в том, что в общем случае для неотрицательной матрицы А ее собственные значения с максимальным модулем не исчерпываются только числом вместо со всеми его поворотами при помощи умножения на степени какого-то одного корня из единицы.

Микромодуль 62

Индивидуальные тестовые задания

Задачи к п.22.0

1. Показать, что для матрицы спектральный ра­диус равен 1, но степени Ат не ограничены при

2. Рассмотреть матрицу

(a) Доказать, что, есть простое собственное значение для

(b) Доказать, что векторы

являются собственными векторами соответственно для отвечающими собственному значению λ = 1.

(c) Найти в явном виде

(d) Показать, что

(e) Вычислитьи прокомментировать.

(f) Что будет при Указание. Образовать матрицу

и диагонализовать ее по аналогии с тем, как это делалось в тексте.

3. Что означает неразложимость матрицы коэффициентов междугородней миграции? Рассмотреть общий случай и интер­претировать неразложимость в терминах свободы передвиже­ний для населения.

4. Показать, что для рассмотренного в этом параграфе слу­чая двух городов предел существует, если

либо Каким он будет в каждом из этих

двух случаев?

Задачи к п.22.1

1. Доказать, что если идля некоторого k, то