Дискретно-непрерывная математика (стр. 102 )

Теорема 3.2. Детерминанты матриц 3.1 одинаковы, т. е. имеют место тождества

(3.2)

В самом деле, из тождества

разлагая детерминант по первым двум столбцам согласно формуле Лапласа, находим:

Отсюда имеем

Точно так же из тождества

находим:

Между вторичными рангами

матрицы А, так же как и между этими рангами, с одной стороны, и первичными рангами илитой же матрицы, — с другой, существует связь, выражаемая следующимн теоремами.

Теорема 3.3. Если oдин из рангов равен 2, то и остальные ранги, а также все ранги и равны 2.

Теорема 3.4. Если один из рангов равен 1, то остальные ранги не больше, чем 1, и все они на единицу меньше соответст­вующих рангов

Теорема 3.5. Если один из рангов равен нулю, то по крайней мере один из остальных рангов также равен нулю и все они, селиматрица А — не нулевая, на единицу меньше соответствующих рангов

Теоремы 3.3 и 3.4 вытекают из тождеств (3.2); кроме того, при дока­зательстве теоремы 3.3 надо принять во внимание следствие IV теоремы 2.2. Для доказательства теоремы 3.5 заметим, что в случае, когда один из ранговнапример равен нулю, то не больше, чем 1. Если то матрица А — нулевая и все ее ранги, в том число и вторичные, — нули. Если же то согласно теореме 2.3 один из рангов например также равен 1, а потомуЕсли при этомто в случае, когда матрица А — не нулевая, если же то на основании теоремы 3.4

Замечание 3.2. Если матрица А — симметрическая относительно двух каких-нибудь индексов, например j, k, то матрицы одинаковы и, следовательно,

Замечание 3.3. Если матрица А — симметрическая, то порождаемые ею кубические миноры равны между собой, так как у симметрической кубической матрицы соответственные сечения ориентации одинаковы. В дальнейшем эти миноры мы будем обозначать через а совпадающие симметрические матрицы (3.1) — через А. Для ранга и сигнатуры матрицы А введем обозначения Как легко убедиться, симметрические элементарные преобразования матрицы A влекут за собой симметрические элементарные преобразования матрицы А, при которых ее ранг а в поле вещественных чисел и сигнатура остаются неизменными.

3. Образуем, далее, кубические матрицы 2-го порядка

элементы которых — квадратные детерминанты

составленные из элементов матрицы А и матриц (3.1). Матрицы одинаковы, так как

где

Для этих матриц введем обозначение

(3.3)

Теорема 3.6. Двумерные и трехмерные ранги матрицы В являются арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразований кубической матрицы 2-го порядка A и, следовательно, будут ее вторичными рангами.

Действительно, операция

над матрицей А вызывает операции

(l, т —любые из значений 1, 2, различные между собой) над матрицей B.

Операция

над А сопровождается такой же операцией над B.

Таким образом, элементарные преобразования матрицы А влекут за собой элементарные преобразования матрицы B, при которых ее двумерные и трехмерные ранги на основании теорем 1.1 и 2.1 остаются неизменными.

Замечание 3.4. Все (двумерные и трехмерные) ранги матрицы В одинаковы. В дальнейшем будем их обозначать через

Замечание 3.5. Если матрица А — симметрическая относительно каких-нибудь двух или всех индексов, то и матрица B — соответственно симметрическая относительно тех же двух или всех индексов.

4. Пусть теперь Обозначим кубические миноры 3-го порядка с сигнатурами порождаемые матрицей А,символами

где индексыпринимают любые из значений 1, 2, 3.

Составим из этих миноров кубические матрицы 3-го порядка

которые, очевидно, будут симметрическими.

У каждой из них, согласно замечаниям 1.2 и 2.2, все двумерные ранги, так же как и трехмерные, одинаковы. Будем их обозначать соответственно через и

Повторяяте же рассуждения, как и при доказательстве теоремы 3.1, мы убеждаемся в том, что элементарные преобразования матрицы А всегда сопровождаются симметрическими элементарными преобразованиями матриц не нарушающими их симметричности и не изменяющими, согласно теоремам 1.1 и 2.1, их двумерных и трехмерных рангов и

Таким образом, имеет место

Теорема 3.7. Ранги и матриц являются арифметическими инвариантами относительно элемен­тарных преобразований кубической матрицы 3-го порядка А и, следовательно, будут ее вторичными рангами по соответствующим индексам.

5. Обратимся теперь к рассмотрению квадратных матриц, составленных из алгебраических дополнений элементов в кубических минорах 3-го по­рядка, порождаемых матрицей А.

Выделим в матрице А два сечения ориентации (i) с номерами α и β, где —любые из значений 1, 2, 3, и составим из этих сечений кубический детерминант 2-го порядка с сигнатурой вычеркивая μ-е сече­ние ориентации (j) и v-e сечение ориентации (k), где — также любые из значений 1, 2, 3. Обозначим этот детерминант символом