Дискретно-непрерывная математика (стр. 7 )

7. Построить и доказать утверждения, аналогичные 21.1.2, 21.1.3, 21.1.4 и 21.1.6, для матрицы такой, что Н(А) положительно определена.

8. Функция называется положительно определен­ной, если матрица положительно полуопреде­лена, каковы бы ни были и точки Показать, что для любого Опираясь на неотрицательность определителя положительно по­луопределенной матрицы, доказать, что для положительно опре­деленной функции f

(b) f — ограниченная функция и для всех

(с) если f непрерывна в нуле, то она непрерывна всюду, n = 3.

9. Пусть — положительно определен­ные функции, — неотрицательные числа. Показать, что функция также положительно определена.

10. Показать, что функция положительно определена для каждого заданного Используя задачу 9, показать, что функция положительно опреде­лена при любом выборе точек и любых неотри­цательных коэффициентах

11. Доказать, что функция cosx положительно определена. Указание.

12. Будет ли положительно определенной функция sinx?

13. Пусть g(x) — неотрицательная функция, интегрируемая на R. Показать, что функция

положительно определена. Указание. Воспользоваться определением.

14. Доказать, что функция положительно определена. Указание. Положить в задаче 13 при t>0, g(t) = 0 при t <0.

15. Показать, что из положительной определенности функ­ции f вытекает положительная определенность функций и Используя последний результат, вывести из задачи 14 положительную определенность функции

16. Используя (21.0.2) и (21.0.3) для показать, что матрица с элементами

положительно определена при всех п = 1,2, ....

17. Показать, что матрица с элементами

положительно определена при всех n = 1, 2, ... . Указание. Для любого

Вычислить этот интеграл.

18. Используя утверждение 21.1.6, показать, что матрица с элементами положительно определена. Указание. Выяснить устройство этой матрицы, выписы­вая ее явно для п = 4. Затем рассмотреть С*АС, где С — вещественная матрица вида

Будет ли С невырожденной? Заметить, что в результате первая строка (и столбец) матрицы А вычтется из всех остальных строк (и столбцов). Теперь нужно учесть вид нижней угловой подмат­рицы порядка п—1 в C*AC и выполнить с ней подходящее пре­образование конгруэнтности, изменяющее ее таким же образом. Вывести отсюда, что А эрмитово конгруэнтна единичной мат­рице I.

19. Используя задачу 18 и операцию предельного перехода, показать, что ядро положительно полуопре­делено на отрезке при любом N > 0. Это означает, что

(21.1.8)

для любой комплекснозначной функции f(•), определенной и непрерывной на Указание. Трактовать интеграл как предел римановых сумм для разбиений отрезка равноудаленными узлами.

20. Доказать, что для любой комплекснозначной функции определенной и непрерывной на справедливо равен­ство

Построить на его основе другое доказательство утверждения за­дачи 19. Это доказательство дает более сильный результат: ядро положительно определено, т. е. равенство в (21.1.8) имеет место тогда и только тогда, когдаУказание. Заменить двойной интеграл повторным и проинтегрировать по частям.

Задачи к п. 21.2

1. Пусть А — эрмитова матрица. Показать, что матрица A2k положительно полуопределена для всех k = 1, 2, ..., а матрица еА положительно определена. См. упражнения, сопровождающие теорему 19.6.15.

2. Пусть матрица А положительно полуопределена, и пусть p(t) — произвольный многочлен, такой, что p(t)>0 для всех t≥0. Показать, что матрица р(А) положительно полуопреде­лена. Указание. Каковы собственные значения матрицы р(А)? Каким образом данный результат обобщает утверждение за­дачи 1?

3. Используя теорему 21.2.5, показать, что матрица

с элементами положительно опре-

делена. Указание. Вычислить det Аі, вычитая первую строку из всех остальных, а затем проделав то же самое со столбцами. Что можно сказать о матрице с элементами

4. Пусть матрицы А и В положительно определены. Пока­зать, что их прямая сумма, т. е. матрица также поло­жительно определена.

5. Привести пример вещественной квадратной (неэрмито­вой) матрицы с положительными ведущими главными мино­рами, среди собственных значений которой есть имеющие отри­цательную вещественную часть.

6. Восполнить пропущенные рассуждения в общем случае теоремы 21.2.5, т. е. доказать, что положительности любой после­довательности из п вложенных главных миноров (необяза­тельно ведущих; вложенность понимается как включение под­матриц) достаточно для положительной определенности эрмитовой -матрицы А.

7. Сформулировать необходимые и достаточные условия отрицательной (полу)определенности эрмитовой матрицы А в терминах знаков ее миноров.

8. Существуют ли «квадратные корни» из положительно полуопределенной матрицы А, отличающиеся от А1/2? Сколько их? Имеются ли корни k-й степени, отличающиеся от Воз­можны ли неэрмитовы квадратные корни? Указание. Рассмот­реть матрицу