Дискретно-непрерывная математика (стр. 123 )

Уравнение Н=0, составленное для канонической формы (3.9), опреде­ляет две различные точки L1 (1, 0) и L2 (0, 1) прямой. Вместе с тем сама форма (3.9) задает на той же прямой три различные точки М1( — 1, 1),

Составим двойное отношение четырех точек: М1, М2, М3 и любой из точек L1, L2. Как известно, двойное отношение четырех точек прямой выражается формулой

Следовательно,

Коварианту Н канонической формы (3.9') отвечают точки L'1 (1, i) и L'2(1, — i) прямой, тогда как сама форма (3.9') задает точки М'1(1, 0),

той же прямой. В этом случае, как легко убе­диться, также имеем

Таким образом доказана

Теорема 3.2. Каждая из двух точек, отвечающих коварианту Н неособенной двойничной кубической формы f, составляет с тремя точками, задаваемыми формой f, эквиангармоническую четверку.

Уравнение Q = 0, составленное для канонической формы (3.9), определяет три различные точки

прямой.

Составляя двойное отношение четырех точек, из которых три —точки М1, М2, М3, задаваемые формой (3.9), а четвертая — одна из точек N1, N2, N3, получаем:

Коварианту Q канонической формы (3.9') отвечают точки N′1(0, 1), прямой.

Составляя в этом случае двойное отношение четырех точек, из кото­рых три — точки М'1, М'2, M'3, задаваемые формой (3.9'), а четвертая — одна из точек N′1, N'2 N′3, находим аналогичным, образом:

Тем самым доказана

Теорема 3.3. Каждая из трех точек, отвечающих коварианту Q неособенной двойничной кубической формы f вместе с одной из трех точек, задаваемых формой f, делит гармонически остальные две.

Комитантам можно дать и другую геометрическую интерпретацию, рассматривая трилинейные инволюции, задаваемые формами, полярными двойничным кубическим формам f, Q, и билинейную инволю­цию, задаваемую формой, полярной квадратичной форме Н (упражне­ния 7 —10).

Модуль 27.

Индивидуальные тестовые задания

Упражнения к п.27.1.

1. Пользуясь таблицей III, проверить соотношение (4.8) модуля 26, связывающее между собой основные комитанты двойничной трилинейной формы, данной в канони­ческом виде, и показать, что оно справедливо для любой формы каждого класса.

2. Показать, что для каждой пары классов (I, V), (II, IV), (ІІІб, ІІІб) двойничных трилинейных форм (табл. IV) сумма

первичного двумерного ранга форм одного из классов пары и вторичногоранга форм другого равна 2 (δ — любой из индексов

3. Указать классы, которым принадлежат в вещественной области формы

4. Приняв во внимание указанные при доказательстве теоремы 1.1 элементарные преобразования кубической матрицы, приводящие ее к каноническому виду, найти невы­рожденные квадратные матрицы, на которые надо умножить по индексам мат­рицу каждой из форм упражнения 3, чтобы получить матрицу эквивалентной канони­ческой формы.

5. На прямой даны r троек точек, у которых неоднородные координаты удовлетворяют условию: ранг матрицы

равен r. Доказать, что трилинейное проективное соответствие I рода определяется этими r тройками точек, где r=7 или r = 6, смотря по тому, будет ли это проективное соответ­ствие неособенным или особенным.

6. На прямой даны r троек точек, неоднородные координаты которых удовлетворяют условию: ранг одной из матриц

равен r. Доказать, что трилинейное проективное соответствие II рода определяется этими r тройками точек, где r = 5 или r =4, смотри но тому, будет ли проективное соответ­ствие неособенным или особенным.

7. На прямой даны r троек точек, неоднородные коордипаты которых удовлетво­ряют условию: ранг матрицы

равен r. Доказать, что трилинейная инволюция определяется этими r тройками точек, где r = 3 или r = 2 в зависимости от того, будет ли инволюция неособенной или особенной.

8. Найти предельные и тройные точки трилинейных проективных соответствий

9. Показать, что тройные точки трилинейной инволюции различны между собой, если инволюция — неособенная, и две из них совпадают, если инволюция — особенная.

10. Показать, что все тройные точки инволюции, задаваемой симметрической двой­ничной трилинейной формой над полeм вещественных чисел, вещественны, если дискри­минант формы и одна из этих точек вещественна, а две — мнимые сопряженные, если

Упражнения к п. 27.2.

1. Пользуясь таблицей III, проверить соотношение Q2+Нi Нj2+∆F2 = 0 между основными комитантами двойничной линейно-квадратичной формы, данной в каноническом виде, и показать, что оно справедливо для любой формы каждого класса.

2. Показать, что для каждой пары классов двойничных линейно-квадратичных форм (табл. IV) сумма (или первичного ранга r' (или r") форм одного из классов пары и вторичного ранга (или форм другого равна 2.

3. Каким классам в вещественной области принадлежат формы

4. Приняв во внимание указанные при доказательстве теоремы 2.1 элементарные преобразования, приводящие к каноническому виду кубическую матрицу, симметриче­скую относительно индексов j, k, найти невырожденные квадратные матрицы, на кото­рые надо умножить по индексам i и j, k матрицу каждой из форм упражнения 3, чтобы получить матрицу эквивалентной канонической формы.

5. В поле вещественных чисел представителем класса IIIа (табл. V) вместо кано­нической формы можно взять форму Какими вещественными элементарными преобразованиями матрица этой формы может быть получена из матрицы формы F3? Указать равносильное этим преобразованиям умножение матрицы формы F3 на невырожденную квадратную матрицу.

6. Доказать, что линейно-квадратичное проективное соответствие определяется пятью тройками точек прямой, у которых координаты (неоднородные) удовлетворяют условию: ранг двумерной матрицы

равен 5.

7. Две совпадающие системы точек у, определяемые линейно-квадратичным проек­тивным соответствием (2.10) по данной системе любых вещественных точек х, тогда и только тогда вещественны, когда соответствующая линейно-квадратичная форма (2.9) вещественна и принадлежит классу Iб (табл. V). Доказать.