Дискретно-непрерывная математика (стр. 143 )

Рис 50.

Рис. 51.

Случай III, когда

Тогда и мы приходим, как показано в § 3 гл. IV, к канонической матрице (рис. 52) с элементарными делителями и характеристикой если или к канонической матрице (рис. 53) с элементарным делителем μ и характеристикой если

Рис. 52. Рис. 53.

Канонические матрицыимеют место как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.

Замечание 1.1. Элементарные делители и характеристика в поле комплексных или вещественных чисел каждой из упомянутых выше кано­нических полиномиальных матриц являются согласно теореме 5.6 гл. III также элементарными делителями и характеристикой строго эквивалентной ей в соответственном поле исходной полиномиальной матрицы То же замечание относится к делителям дискриминантов ассоциированных с этими матрицами пучков кубических двойничных форм. В даль­нейшем для краткости элементарные делители и характеристику пучка матриц будем называть также элементарными делителями и характеристикой ассоциированного с ним пучка форм

3. На основании полученных в пп. 1, 2 результатов мы можем уста­новить следующие теоремы, ассоциируя канонические пучки кубических матриц с пучками кубических двойничных форм и называя два пучка этих форм строго эквивалентными в поле комплексных или веществен­ных чисел, если строго эквивалентны в том же поле соответствующие пучки кубических матриц.

Теорема 1.1. Неособенный пучок кубических двойничных форм в случае, когда дискриминанты форм f, φ базиса не равны нулю, строго эквивалентен в поле комплексных чисел одному и только одно­му из следующих канонических пучков:

в поле вещественных чисел к каноническим пучкам, кроме вышеупомянутых, относятся также пучки:

Теорема 1.2. Неособенный пучок кубических двойничных форм в слу­чае, когда у одной из форм базиса, например f, дискриминант и ранг r = 2, а у другой формы φ ранг строго эквивалентен в поле комплек­сных чисел одному и только одному из канонических пучков:

в поле вещественных чисел к каноническим пучкам, кроме вышеупомянутых, относятся также пучки

Теорема 1.3. Неособенный пучок кубических двойничных форм, в случае, когда у одной из форм базиса, например f, ранг r=1, а у другой формы φ ранг строго эквивалентен в поле комплексных чисел одному и только одному из следуюгцих канонических пучков:

в поле вещественных чисел к каноническим пучкам, кроме вышеупомянутыx, относится также пучок

Теорема 1.4. Неособенный пучок кубических двойничных форм, у которого одна из форм базиса, например f, имеет ранг r = 0, строго эквивалентен в поле комплексных чисел каноническому пучку

а в поле вещественных чисел — одному и только одному из канонических пучков (XVI) и

Теорема 1.5. Особенный пучок кубических двойничных форм строго эквивалентен в поле комплексных или вещественных чисел одному и только одному из канонических пучков

если у форм f, φ базиса дискриминанты и ранги r = 2, если же одна из этих форм, например f, имеет ранг r = 1 при то пучок строго эквивалентен в поле комплексных или веществен­ных чисел одному и только одному из канонических пучков

наконец, если одна из форм например f, имеет ранг при то пучок строго эквивалентен в поле комплексных или вещественных чисел одному и только одному из канонических пучков

4. Объединяя в одну категорию пучки кубических двойничных форм с одной и той же характеристикой, мы будем иметь в поле комплексных чисел десять категорий соответственно характеристикам

в поле вещественных чисел, кроме этих категорий, существует еще одна категория, соответствующая характеристике

Пучки, принадлежащие различным категориям, не являются строго эквивалентными, тогда как пучки одной и той же категории с характери­стикой строго эквивалентны в поле комплексных или вещественных чисел, так же как строго эквивалентны пучки, принадлежащие категории с любой из характеристик (а также в случае поля вещественных чисел), если элементарные делители этих пучков одни и те же. Эти категории представлены каноническими пучками

Что же касается категорий с характеристиками то каждую из них можно подразделить на конечное число типов таким образом, что пучки, принадлежащие различным типам, не будут строго эквивалентными, тогда как пучки одного и того же типа будут строго экви­валентны в поле комплексных или вещественных чисел, если они имеют одни и те же элементарные делители или вовсе их не имеют и одновременно являются особенными или неособенными, обладая в последнем случае про­порциональными дискриминантами (одного и того же знака в случае поля вещественных чисел). Так, в поле комплексных чисел категория с характе­ристикой [(11)] в зависимости от того, будут ли дискриминанты форм f, φ отличны от нуля или же при подразделяется на два типа, представителями которых являются канонические пучки (II) и (XVII).

Точно так же категория с характеристикой смотря по тому, будет ли при r = 0 дискриминантотличным от нуля или же при подразделяется на два типа, представляемых каноническими пучками (XVI) и (XXI).

Категория с характеристикой [1] может быть подразделена на пять типов в зависимости от того, будут ли ранги форм равны 2 или 1, причем в случае, когда отмечаем, обе ли формы имеют дискриминанты, не равные нулю, или только одна из них и является ли тогда элементарный делитель пучка двукратным или трехкратным делителем его дискриминанта Эти типы представлены каноническими формами Категория с характеристикой подразделяется на четыре типа, смотря по тому, будет ли ранг одной из форм , например f, имеющей дискриминант (дискриминант ∆' другой формы φ может равняться или не равняться нулю), равен 2, 1 или 0, при­чем в случае, когда r=1, отмечаем, является ли элементарный делитель пучка двукратным или трехкратным делителем его дискриминанта ∆(λ, μ). Эти типы представлены каноническими пучками (VIII), (XIV), (XV), (XXII). Наконец, категорию с характеристикой можно подразделить на четыре типа, различая случаи, когда обе формы, обладающие рангами r = 2