Дискретно-непрерывная математика (стр. 58 )

20. Продумать детали доказательства теоремы 22.5.10.

21. Вычислить собственные значения и собственные векторы для каждой из следующих матриц и расклассифицировать их в соответствии с ключевыми понятиями этой главы (неотрица­тельность, неразложимость, примитивность, положительность

и т. д.):

Это хорошая иллюстрация возможностей, которые могут встретиться.

22. Доказать, что каждый столбец в Х11 и Х12 (см. доказа­тельство теоремы 22.5.8) содержит хотя бы один ненулевой эле­мент. Доказать, что

Задачи к п.22.6

1. Доказать, пчто еслии матрица обратима, то

Указание. Умножить обе части на І — В.

2. Доказать теорему 22.6.2.

3. Сравнить скорости сходимости в теоремах 22.5.1 и 22.6.1. Привести примеры, показывающие неулучшаемость оценки ско­рости сходимости в теореме 22.6.1.

4. Предположим, что матрица неотрицательна и неразложима, и запишем где . Исполь­зуя теорему 22.6.1, доказать, что для каждой заданной пары неравенство выполняется для бесконечно многих значений т. Этот результат можно считать обобщением тео­ремы 22.5.2. Привести пример, в котором имеется также беско­нечно много значений т, для которых

5. Доказать, что в условиях теоремы 22.6.2 для беско­нечно многих значений т и таких пар для которых Почему этот результат включает в себя задачу 4?

6. Показать непосредственно, что теорема 22.5.1 влечет за со­бой теорему 22.6.1, если матрица А примитивна. Указание. Здесь требуется доказать следующий результат из анализа: если по­следовательность сходится к конечному пределу, то и последова­тельность средних по Чезаро имеет тот же предел.

7. Рассмотреть матрицу и явно вычислить

Найти значение этого предела, используя теорему 22.6.1, и срав­нить.

Задачи к п.22.8.

1. Пусть —неотрицательная ненулевая матрица с по­ложительным собственным вектором и

Доказать, что (со-

гласно лемме 22.1.30) и где— вектор, в котором все координаты равны +1. Отсюда вывести, что А подобна (и подобие осуществляется диагональной матрицей с положи­тельной главной диагональю) положительному кратному (с ко­эффициентом стохастической матрицы. Это наблюдение позволяет многие вопросы относительно неотрицательных мат­риц с положительным собственным вектором сводить к анало­гичным вопросам относительно стохастических матриц.

2. Доказать, что множества стохастических и двоякостоха­стических матриц в Мп компактные и выпуклые.

3. Показать, что каждое из множеств стохастических и двоя­костохастических матриц в Мп образует полугруппу относитель­но умножения матриц; другими словами, если матрицы стохастические (двоякостохастические), то и матрица АВ будет стохастической (двоякостохастической).

4. Доказать, что неотрицательная матрица является стохастической тогда и только тогда, когда

5. Доказать, что двоякостохастическая матрица порядка 2 симметрична и ее диагональные элементы равны.

6. Используя идеи, заложенные в доказательстве теоремы 22.7.1, придумать непосредственное доказательство и построить алго­ритм представления двоякостохастической матрицы в виде вы­пуклой комбинации матриц перестановок. Указание. Если А не является матрицей перестановки, то, используя последователь­ность элементов, отмеченных в доказательстве теоремы 22.7.1, построить такую матрицу перестановки, что после вычитания ее положительного кратного из А остается неотрицательная мат­рица с равными строчными и столбцовыми суммами; при этом в новой матрице по сравнению с А ненулевых элементов меньше по крайней мере на один. Далее продолжать по аналогии.

7. Показать, что запись в виде выпуклой комбинации, уста­навливаемая теоремой 22.7.1, неединственна.

8. Доказать, что если двоякостохастическая матрица А раз­ложима, то на самом деле А перестановочно подобна матрице вида Что можно сказать относительно А1 и А2?

Модуль 23.

Линейные матричные неравенства в синтезе законов управления

Микромодуль 64

Линейные матричные неравенства

23.1. Введение

Цель этих методических материалов - показать, как на основе численного реше­ния линейных матричных неравенств в пакете MATLAB можно синтезировать законы управления динамическими объектами.

В теории управления линейные матричные неравенства применялись очень давно. Уже известное уравнение Ляпунова в теории устойчивости

при произвольной симметрической положительно определенной матрице Q можно рас­сматривать как линейное матричное неравенство

относительно неизвестной матрицы X. Условия абсолютной устойчивости динамиче­ских систем, уравнения которых содержат неизвестную нелинейную функцию, распо­ложенную в заданном секторе (так называемые системы Лурье), также были выражены в виде линейных матричных неравенств. Однако только после того, как были развиты соответствующие вычислительные методы в конце 20-го века, основанные на идеях выпуклой оптимизации, и для их реализации появились алгоритмы и программ­ное обеспечение, линейные матричные неравенства стали активно применяться в различных областях теории систем и теории управления. В частности, в [58, 62] было показано, как синтез Н∞-регуляторов сводится к решению линейных матричных неравенств.

Синтезу регуляторов на основе линейных матричных неравенств посвящено огромное число публикаций в таких известных журналах как IEEE Transactions on Automatic Control, Automatica, Systems and Control Letters, Internatio­nal Journal of Control и многих других, а также в трудах всех последних конференций по теории управления (World IFAC Congresses, IEEE Conferences on Decision and Control, European Control Conferences и других).

Линейные матричные неравенства позволяют с единых позиций рассматривать и решать многие проблемы теории управления и, в частности, такие важные как стабили­зация неустойчивого объекта по состоянию и по измеряемому выходу, модальное управ­ление, оптимальное линейно-квадратичное управление, оптимальное гашение внешних возмущений в рамках теории Н∞-управления, робастная устойчивость и стабилизация, абсолютная устойчивость и стабилизация, робастное Н∞-управление.

В качестве объектов управления рассматриваются линейные непрерывные и дис­кретные динамические системы с известными постоянными. Синтезируемые регулято­ры выбираются в классе линейных, в общем случае, динамических обратных связей. Основная идея, положенная в основу синтеза, заключается в следующем. Цель управ­ления формулируется в виде неравенства относительно квадратичной функции Ляпу­нова замкнутой системы с симметрической положительно определенной матрицей Для задачи стабилизации это просто неравенство Ляпунова, а для задачи Н∞-управления это неравенство непосредственно получается путем преоб­разования на основе частотной теоремы целевого условия, выраженного в частотной области, в эквивалентное ему матричное неравенство. В любом случае получающееся неравенство может быть представлено в виде линейного матричного неравенства от­носительно неизвестной матрицы параметров регулятора в некоторого специального вида