Дискретно-непрерывная математика (стр. 72 )

Из этого утверждения следует, что возможны две ситуации. Если то и X* и Y* являются решениями задачи А. Если то нельзя сделать определенного вывода о разрешимости задачи А. В последнем случае целесообразно повторить процесс при других начальных условияхкак это обычно применяется в задачах глобальной оптимизации.

При практической реализации алгоритма целесообразно применить следующее пра­вило остановки: при выполнении одного из двух неравенствили работа алгоритма прекращается (из утверждения 1 следует, что алгоритм останавли­вается через конечное число итераций).

Пример 1. Рассмотрим синтез статического регулятора по выходу для стабили­зации перевернутого маятника, описываемого уравнением

с измеряемой переменной Уравнение имеет вид (18 п.23.6), где

Неравенства определялись как в (31 п.23.6). Матрицыивыбирались

Точность, с которой решаются линейные матричные неравенства, равна 10-4, а па­раметр алгоритма После двух итераций алгоритм остановился, при этом

и параметр регулятора

Пример 2. Рассмотрим синтез динамического регулятора первого порядка для ста­билизации перевернутого маятника. Объект, описываемый уравнением

с измеряемой переменной приводится к виду (18 п.23.6), где

Регулятор выбирался в виде (19 п.23.6), где В данном случае неравенства определялись следующим образом

где описаны в примере 3 п.23.6, а - заданная степень устойчивости замкнутой системы. Проверка эффективности работы алгоритма осуществлялась следующим образом.

Элементы начальных симметрических матриц выби-

рались как независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке Алгоритм стартовал 1000 раз. В 996 случаях завершение работы алгорит­ма было успешным, т. е. минимальное значение А оказалось равным нулю с принятой точностью В подавляющем числе случаев для завершения работы алгоритма потребовалось не более 4 — 6 итераций.

Модуль 24.

Пространственные матрицы – их структура и операции над ними

Понятие пространственной матрицы, т. е. матрицы трех и большего числа измерений, так же как и понятие обычной, двумерной матрицы, воз­никновением своим обязано координатному методу Декарта. Еще в 1771 г. Вандермопд, исследуя ходы коня при шахматной игре в пространстве трех измерений, ввел в употребление элементы с тремя индексами для ука­зания расположения шахматных полей. Однако понятия кубических детер­минантов, необходимого для развития теории кубических матриц, Вандермонд не дал. Такое понятие и даже более общее понятие р-мерных детерми­нантов n-го порядка впервые введено было Кэли в 1843 г. Рассматриваемые им «функции, приводимые к сумме детерминантов»—не что иное, как детерминанты высших измерений. В этом кратком, но глубоком по содержанию мемуаре Кэли установил основные свойства р-мерных детерминантов, указав на необходимость различать случаи, когда число р четное или нечетное. Однако мемуар Кэли, не совсем удачно озаглавлен­ный, не привлек должного внимания современников и долго оставался неза­меченным, вследствие чего приоритет нередко приписывали Гаспарису, кото­рый в 1861 г. под псевдонимом «Жан Блез Гранпа» издал брошюру, где независимо от Кэли дал определение «детерминантов, элементы которых имеют р индексов» и на примерах указал их главнейшие свойства.

В 1863 г. Даландер, незнакомый с работами своих предшественников, опубликовал статью о кубических детерминантах, называя их «клас­сом функций, обладающих свойствами, аналогичными свойствам детерми­нантов».

В 1868 г. появились статьи Арменанта и Падуа, касающиеся вопроса об умножении детерминантов и содержащие доказательства теорем, высказанных ранее Гаспарисом в его брошюре, но не доказанных им. Обе статьи дополняют друг друга и не являются свободными от ошибок. В том же году опубликована заметка Гаспариса об инвариантности кубиче­ских детерминантов, а также работа Цейфуса, посвященная обобщению понятия обычного детерминанта на случай детерминантов высших измере­ний и связи их с теорией инвариантов алгебраических форм.

В 1877 г. Гарбиери дал строгое доказательство основных свойств многомерных детерминантов. В другом его мемуаре дано систематиче­ское изложение результатов, полученных Гаспарисом, Арменантом и Падуа в области кубических детерминантов, с исправлением допущенных ими ошибок.

В 1878 г. Брааш, повторяя рассуждения Гарбиери и Цейфуса, резюмировал основные свойства детерминантов высших измерений и привел много примеров применения их к составлению инвариантов алгебраических форм.

В небольшой заметке 1878 г. Гаспарис указал на возможность представления произведения двух кубических детерминантов в виде обыч­ного детерминанта.

Работа Таннера о многомерных детерминантах, опубликованная в 1879 г., не содержит указаний на исследования в этой области его предше­ственников и не отличается строгостью доказательств приведенных в ней теорем. В этой работе дан способ графического определения знака любого члена детерминанта.

Скотт, применив к многомерным детерминантам символический метод, изложил в мемуарах 1879—1881 гг. новые их свойства, рассматри­вая также кубические детерминанты, элементы которых составлены из обыч­ных детерминантов. В мемуаре 1882 г. рассмотрен детерминант нечет­ного числа р измерений (р > 3) специального типа.

Появившееся в 1881 г. обширное исследование Зайончковского о р-мерных детерминантах содержит краткую характеристику работ его предшественников с указанием их главнейших ошибок, упрощение доказа­тельств многих теорем и обобщение разложения Лапласа.

Дэвис в заметке, опубликованной в 1882 г., исследовал вопрос о нахождении максимальных значений детерминантов четного и нечетного числа измерений, элементы которых, предполагающиеся вещественными, заключаются между —а и +а.

Эшерих, продолжая исследования Цейфуса, опубликовал в 1882 г. мемуар о детерминантах высших измерений и применении их к состав­лению инвариантов системы алгебраических форм от одного или нескольких рядов переменных.

Много способствовали развитию теории многомерных детерминантов исследования Гегенбауера, несмотря на допущенные им грубые ошибки. В его мемуарах, публиковавшихся в изданиях Венской академии наук на протяжении 1882—1893 гг., содержатся обобщения многих теорем относительно обычных детерминантов, даются приложения многомерных детерминантов к теории инвариантов алгебраических форм и рассматривают­ся различные частные их виды.

В 1887 г. Шендель в небольшой заметке о многомерных детерми­нантах указал правило составления произведения этих детерминантов с помо­щью особого символического обозначения.

В 1890 г. Сютс обобщил на случай кубических детерминантов фор­мулы, выведенные им ранее для обычного детерминанта одного частного вида, и в статье, опубликованной в 1895 г., распространил их на детер­минанты р измерений (р > 3).

В заметке Кемпбелла 1892 г. о многомерных детерминантах рас­смотрены также кососимметрические детерминанты и дано представление произведения 2v квадратных детерминантов в виде детерминанта 2v измере­ний, а также представление произведения этих детерминантов на квадрат­ный перманент в виде детерминанта 2v + 1 измерений.

В 1899 г. Гедрик опубликовал работу, посвященную кубическим детерминантам, в которой элементарно изложены простейшие свойства этих детерминантов и даны приложения их к составлению инвариантов алгебра­ических форм.

Каццанига в мемуаре, появившемся в 1900 г., изложил элементар­ную теорию кубических детерминантов бесконечного порядка. В том же году Гаврилович распространил правило Сарруса на случай кубических детерминантов. В другой заметке 1902 г. он указал элементарные свой­ства кубических детерминантов, относящиеся к изменению знака некоторых их элементов.