Дискретно-непрерывная математика (стр. 134 )

(14а)

Для нее

Если в матрице (2.1), кроме будет

то, как нетрудно убедиться, она приводится к рассмотренному уже виду (2.20).

п° 3. Пусть

Тогда в матрице (2.1), кроме будет При этом, как и раньше, После операции

получаем матрицу:

приводящуюся (гл. IV, § 3, упражнение 6) к матрице, которой соответ­ствует каноническая форма

(15а)

Для нее

Случай (б), когда

Тогда по крайней мере один из элементовматрицы С0 не равен нулю. Пусть, где или

В этом случае существует двукратный корень t уравнения

Следовательно,

и

Подвергая матрицу А операциям

получим матрицу В с элементами

Наконец, после операций

придем к матрице D с элементами

(2.21)

Для нее

Если ранг r матрицы А равен 2, то в матрице D вес элементы — нули, кроме.и после операций

получим матрицу, которой соответствует каноническая форма

(1б)

Присоединенная матрица С имеет в этом случае ранг

Для формы (1б), очевидно,

Если же ранг r матрицы А равен 3, то различаем два варианта, смотря по тому, будет ли ранг матрицы С1 равен 3 (когда или 1 (когда

Вариант 1:

Тогда и матрица D операциями

приводится к виду

(2.22)

Для матрицы (2.22) имеем:

.

(В этом случае инвариантыобращаются в нуль.)

Если в матрице (2.22) то соответствующая форма имеет канонический вид

(2б)

При этом Следовательно, Кроме того,

Если же в матрице (2.22) то после очевидных операций получим матрицу, которой соответствует каноническая форма

(3б)

Для нее S = 4, Т = — 8. Следовательно, I = 0. Кроме того,

Рассмотренные частные случаи имеют место, когда форма f приводима. В общем случае, когда форма f неприводима, принимаем во внимание матрицу

составленную для матрицы (2.22). Ее детерминант равен

С помощью элементарных преобразований R0 приводится к матрице

откуда заключаем, что дефект δ матрицы R0 может иметь два значения: 0, 1.

п° 1. Пусть

Тогда матрица (2.22) легко приводится к виду, которому соответст­вует каноническая форма

(4б)

Для нее имеем:

(2.23)

Далее находим:

(2.24)

(2.25)

Из формул (2.23), (2.24), (2.25) заключаем, что значения I и J2 могут быть какими угодно, тогда как J1 может принимать только конечные значения, не имеющие неопределенного вида

Если то из выражений (2.24), (2.23) получаем:

(2.26)

(Мы ограничиваемся одним каким-либо значением кубического корня, так как, подвергая матрицу формы (46) операциям

где, получим матрицу того же вида, в которой вместо q будет

)

Если же то при определенном конечном значении J2 из выражений (2.24), (2.25) находим:

(2.26')

(Здесь и в дальнейших выражениях р также можем, не нарушая общности, ограничиться одним значением кубического корня.)

При формулы (2.25) и (2.23) дают:

(2.26")

Наконец, прииз равенства (2.25) имеем:

При последних значениях р, q матрица формы (4б) после легких пре­образований принимает вид, которому соответствует каноническая форма

(5б)

Для нее и Для формы (4б), у которой коэффициенты р, q определяются формулами (2.26), (2.26') или (2.26"), значение исключается, а при І = 0 имеем

п° 2. Пусть .

(В этом случае или )

Тогда но и матрица (2.22) очевидными операциями приводится к виду, которому соответствует каноническая форма