Дискретно-непрерывная математика (стр. 129 )

8. Вычисляя относительные инварианты S и Т установленных нами канонических форм, составив предварительно для соответствующих им кубических матриц присоединенные и смешанно-присоединенные матри­цы С и К, а затем образуя сложные квадратные матрицы (гл. III, §§ 3, 4), определим инварианты І и канонических форм, их ранги (двумерный r и трехмерный а также ранги и сигнатуры матриц Получим следующие результаты:

В зависимости от указанных выше значений инвариантов особенных кубических тройничных форм мы можем классифицировать их следующим образом.

Различаем, прежде всего, четыре рода особенных форм в зависимости от их ранга r (двумерного или трехмерного).

Формы I рода (r = 3) не приводятся к формам с меньшим числом пере­менных. Представляемые ими линии 3-го порядка обладают двойными точ­ками.

Формы II рода (r =2) приводятся к двойничным кубическим формам. Они представляют линии 3-го порядка с тройной точкой.

Форма III рода (r = 1) являются кубом линейной формы и представ­ляют тройки совпадающих прямых.

Формы IV рода (r = 0) тождественно равны нулю.

В комплексной области формы I рода делим на два вида в зависимо­сти от того, будет ли их абсолютный инвариант I=0 или Формы 1-го вида (I=0) представляют линии, у которых касательные в двойной точке различны, тогда как у линий, представляемых формами 2-го вида касательные в двойной точке совпадают. Далее, формы 1-го вида подразделяем на три типа, смотря по тому, будет ли ранг матрицы равен 4, 2 или 0. Формы 1-го типа — неприводимые и представляют нераспадающиеся линии с двойной точкой. Формы 2-го типа

разлагаются в произведение линейной и неприводимой квадратичной форм. Они представляют совокупности конического сечения и пересекающей его прямой. Формы 3-го типа разлагаются в произведение трех линейно независимых линейных форм и представляют тройки прямых, не пересека­ющихся в одной точке. Формы 2-го вида подразделяем на два типа, смотря по тому, будет ли ранг rC матрицы С равен 5 или 4. Формы 1-го типа (rC=5) — неприводимые и представляют нераспадающиеся линии с двойной точкой. Формы 2-го типа (rC = 4) разлагаются в произведение линейной и неприводимой квадратичной форм. Они представляют совокупности кони­ческого сечения и касательной к нему прямой.

Среди форм II рода различаем два вида в зависимости от того, будет ли ранг rC равен 2 или 1. Формы 1-го вида (rC =2) разлагаются в произ­ведение трех линейно зависимых линейных форм, являющихся попарно линейно независимыми. Они представляют тройки различных прямых, пере­секающихся в одной точке. Формы 2-го вида (rC=1) разлагаются в про­изведение линейной формы и квадрата такой же формы, линейно незави­симой от первой. Представляемые ими тройки прямых, пересекающихся в одной точке, содержат по две совпадающие прямые.

В вещественной области формы I рода делим на три вида в зависи­мости от значений инварианта Формы 1-го вида пред­ставляют линии, обладающие тем свойством, что касательные в двойной точке различны и вещественны. Формы 2-го вида представляют линии, характеризующиеся тем, что касательные в двойной точке различны и обе (или одна из них) —мнимые. Формы 3-го вида представляют линии, у которых касательные в двойной точке вещественны и совпадают. Дальнейшее подразделение форм 1-го и 2-го видов зависит от ранга и сигнатуры матрицы а форм 3-го вида — от ранга rC матрицы С. Формы 1-го вида, смотря по тому, будет ли ранг равен 4, 2 или 0, делятся на три типа: неприводимые, разлагающиеся в произведение двух вещественных форм — линейной и неприводимой квадратичной, или разла­гающиеся в произведение трех линейно независимых вещественных линей­ных форм. Они представляют соответственно линии с узловой точкой, сово­купности конического сечения и прямой, пересекающей его в двух веще­ственных точках, или тройки вещественных прямых, не пересекающихся в одной точке. Точно так же формы 2-го вида, смотря по тому, будет ли рангравен 4, 2 или 0, делятся на три типа: неприводимые, разлагаю­щиеся в произведение двух вещественных форм — линейной и неприводимой квадратичной (неопределенной, если и определенной, если или разлагающиеся в произведение трех линейно независимых линейных форм, из которых одна вещественна, а две — мнимые сопряженные. Они представляют соответственно линии с изолированной точкой, совокупности конического сечения (вещественного, если или мнимого, если и прямой, пересекающей его в двух мнимых сопряженных точ­ках, или тройки непересекающихся в одной точке прямых, из которых одна вещественна, а две — мнимые сопряженные. Наконец, формы 3-го вида, смотря по тому, будет ли ранг rC равен 5 или 4, подразделяются на два типа: неприводимые, представляющие линии с точкой возврата, и разла­гающиеся в произведение двух вещественных форм — линейной и неприво­димой квадратичной, — представляющие совокупности конического сечения и касательной к нему прямой.

Далее, среди форм II рода различаем два вида в зависимости от ранга rC. Формы 1-го вида (rC=2) разлагаются в произведение трех линейных форм и представляют тройки различных прямых, пересекающихся в одной точке. Формы 2-го вида (rC = 1) разлагаются в произведение вещественной линей­ной формы и квадрата такой же формы, линейно независимой от первой. Они представляют тройки пересекающихся в одной точке вещественных прямых, из которых две совпадают. Формы 1-го вида подразделяются на два типа в зависимости от сигнатуры У форм 1-го типа так же

как у представляемых ими троек прямых, одна из линейных форм, в про­изведение которых разлагаются формы этого типа, вещественна, а дне — мнимые сопряженные. У форм 2-го типа все эти линейные формы, так же как и представляемые ими прямые, вещественны.

Наконец, формы III рода яиляются кубом вещественной линейной формы и представляют тройки совпадающих вещественных прямых.

Результаты произведенной таким образом проективной класси­фикации в комплексной и в вещественной областях осо­бенных кубических тройничных форм и представляемых ими плоских линий 3-ю порядка, обладающих особыми точками, сведены в таблицах III и IV.

Относя все проективно эквивалентные в комплексной или вещественной области формы (линии) к одному и тому же классу таким образом, что две формы (линии), принадлежащие различным классам, не являются проективно эквивалентными в соответствующей области, видим из таблиц I, III и II, IV, что совокупность всех кубических тройничных форм (всех плоских линий 3-го порядка) в каждой из этих областей разбивается на бесконечное число непересекающихся проективных классов неособенных форм (линий, не имеющих особых точек) и конечное число непересека­ющихся проективных классов особенных форм (линий, обладающих особыми точками). Представляющие все эти классы канонические формы указаны в упомянутых таблицах. Тем самым подтверждается замечание 4.6 гл. III о полной системе инвариантов кубической тройничной формы над полем комплексных (или вещественных) чисел по отношению к группе всех ком­плексных (или вещественных) проективных преобразований.

28.2. Аффинно-проективная классификация кубических тройничных форм