Дискретно-непрерывная математика (стр. 148 )

Вариант 2.

В этом случае Полагая в пучке (2.12) последовательно

и

получим две формы этого пучка:

Принимая их за базис, представим пучок (2.12) в каноническом виде

(2.22)

с соответствующей матрицей рис. 57.

(2.23)

Рис. 57.

Кубические миноры 3-го порядка, порождаемые матрицей (2.23), тож­дественно равны нулю, кроме минора

Следовательно,

Кубические миноры 2-го порядка, порождаемые той же матрицей, кроме значений, тождественно равных нулю, имеют также значения, равные Следовательно,

Далее,

Поэтому элементарные делители пучка (2.22) равны и характеристика его будет [(21)].

Для соответствующей матрицы при всех значениях параметров имеем:

При этом выполняется условие (2.16).

Таким образом, пучок плоских линий 3-го порядка, соответствующий пучку (2.22), содержит, кроме нераспадающихся линий с двойной точкой, у которых касательные в этой точке совпадают, также тройку совпадающих прямых. Все ливни пучка имеют только одну общую точку, являющуюся двойной точкой нераспадающихся линий пучка; касательная в этой точке — тройная прямая пучка.

Пусть теперь Тогда пучок (2.12). в котором, очевидно, может быть представлен в каноническом виде

(2.24)

Его характеристика будет и для соответствующей матрицы при всех значениях параметров удовлетворяющих условию имеем:

При этом выполняется условие (2.16).

Все линии пучка сливаются в одну нераспадающуюся линию с двойной точкой, в которой касательные совпадают.

4. Пусть, наконец,

(III)

Соответствующая пучку (2.3) полиномиальная матрица

порождает кубические миноры 3-го порядка, представляемые выражениями

Отсюда заключаем, что будет кубической формой от только тогда, когда все миноры, кроме тождественно равны нулю. Следовательно,

и пучок (2.3) имеет вид

(2.25)

Рассмотрим два случая: когда и когда

Случай I.

Подвергая тогда матрицу пучка (2.25) операциям

где

мы приведем ее к виду, которому соответствует пучок

(2.26)

Полагая в пучке (2.26) последовательно

и

получим две формы этого пучка:

где

Принимая их за базис, представим пучок в виде

(2.27)

Далее, различаем два варианта в зависимости от того, будет или

Вариант 1.

Тогда соответствующая пучку (2.27) матрица после операций

принимает канонический вид (рис. 58).

(2.28)

Рис. 58.

Матрице (2.28) соответствует канонический пучок

(2.29)

имеющий базисом формы

Кубические миноры 3-го порядка, порождаемые матрицей (2.28), тождественно равны нулю, кроме минора

Следовательно,

Далее, поскольку среди кубических миноров 2-го порядка, порождаемых той же матрицей, имеются равные

Поэтому элементарные делители пучка (2.29) равны и характеристика его будет [21].

Для матрицы (2.28) при всех значениях параметров имеем:

При этом выполняется условие (2.16).

Следовательно, пучок (2.29) представляет совокупности конического сечения и касательной к нему прямой, а также тройку прямых, из кото­рых две совпадают, и тройку различных пересекающихся в одной точке прямых. Все линии пучка имеют общую прямую, совпадающую с двойной прямой первой тройки и с одной из прямых второй тройки. Конические сечения пучка имеют три общие точки; одна из них есть точка касания, другие две — точки пересечения конических сечений. Двойная прямая тройки пучка касается всех конических сечений в точке их взаимного касания, а простая прямая этой тройки проходит через две общие точки их пересечения.

Вариант 2.

Тогда пучок (2.27) имеет канонический вид

(2.30)

Характеристика его та же, как и у пучка (2.29), и для соответству­ющей матрицы при всех значениях параметровимеем:

При этом выполняется условие (2.16).

Следовательно, пучок (2.30) представляет совокупности конического сечения и касательной к нему прямой, а также две тройки прямых; в каждой тройке две прямые совпадают, и все прямые этих троек состав­ляют треугольник, у которого одна сторона — простая прямая, другая — двойная прямая, а третья тройная прямая. Последняя является общей прямой для всех линий пучка. Конические сечения пучка имеют две общие точки взаимных касаний. Простая и тройная прямые упомянутого выше треугольника касаются в этих точках конических сечений, а двой­ная прямая его проходит через них.

Случай II.

Здесь возможны два варианта, в зависимости от того, будет или

Вариант 1. Тогда, совершая над матрицей пучка (2.25)

операции

где

приведем ее к виду, которому соответствует пучок