Дискретно-непрерывная математика (стр. 9 )

18. Пусть матрицы положительно полуопределены, причем А положительно определена. С помощью результата за­дачи 17 доказать, что

(21.2.13)

Объяснить, почему из этого неравенства следует, что функция определенная на множестве положительно полуоп­ределенных матриц из Мп, непрерывна на внутренности этого множества, т. е. на открытом множестве положительно опреде­ленных матриц. Выписать и дать прямое доказательство нера­венства для обычной скалярной функции которое получается из (21.2.13) при п = 1.

Микромодуль 60.

Полярная форма и сингулярное разложение

21.3. Полярная форма и сингулярное разложение

Теперь мы введем два важных и связанных между собой разложения комплексных (необязательно квадратных) матриц, существенно опирающиеся на понятие положительной опреде­ленности.

21.3.1. Лемма. Пусть причем и

Существуют унитарная матрица диагональная матрица с неотрицательными диагональными элементами и матрица

с ортонормированными строками, такие, что

Матрица Λ всегда определена однозначно, и суть

собственные значения матрицы АА*. Столбцы матрицы X яв­ляются собственными векторами матрицы АА*. Если все соб­ственные значения последней матрицы различны, то матрица X определена с точностью до правого диагонального сомножителя

где все другими словами, если

то Х2 = X1D. При фиксированной матрице

X матрица Y однозначно определена, если rank А = т. Если А — вещественная матрица, то X и Y могут быть выбраны веще­ственными.

Доказательство. Пусть A XΛY — разложение описанного типа. Тогда т. е. произведена унитарная диагонализация эрмитовой матрицы АА*. Пусть итогда

причем векторы составляют орто-

нормированную систему. Поскольку диагональные элементы матрицы Λ должны быть неотрицательными и упорядоченными по невозрастанию, то Λ однозначно определяется матрицей АА*. Если все числа различны, то нормированные собственные векторы матрицы АА* определены каждый с точностью до комплексного скалярного множителя с модулем 1. Поэтому если Х1 и Х2 — унитарные матрицы, столбцами которых служат соб­ственные векторы матрицы АА*, то должно быть Х2 = X1D, где

и

Собственные векторы матрицы АА*, отвечающие кратному собственному значению, определены неоднозначно. Однако если они выбраны и ортонормированы и тем самым зафиксирована унитарная матрица X, то матрица определяется единственным образом в случае невырожденной матрицы Λ, что имеет место при Легко проверить, что

т. е. эта матрица Y имеет ортонормированные строки.

Остается рассмотреть только случай rank Когда все были ненулевыми, мы определяли Y формулой

Поэтому и теперь в качестве j-й строки матрицы Y возьмем вектор-строку

j=1,…,k. Тогда

Это скалярное произведение равно 0 прии 1 при в силу ортонормированности векторов {xj}. Векторы образуют ортонормированную систему в пространстве и так как то найдутся m — k дополнительных (конечно,

неоднозначно определяемых) векторов таких, что

матрица имеет m ортонор-

мированных столбцов.

Заметим теперь, что Действительно, первые k строк в обеих матрицах равны согласно определению векторов уj. Остальные m — k строк в правой матрице нулевые, потому что соответствующие диагональные элементы в равны 0. В ле­вой матрице те же строки нулевые, поскольку из сле­дует, что т. е.

Наконец, при вещественной матрице А матрица АА* веще­ственна и имеет вещественные собственные значения. Следо­вательно, собственные векторы, образующие матрицу X, могут быть взяты вещественными. Первые k строк матрицы Y, опре­деляемые матрицей X, вещественны по построению, и добавляе­мые т — k ортонормированных векторов также можно выбрать вещественными. Таким образом, в случае вещественной мат­рицы А все сомножители разложения можно считать вещест­венными.

Всякое ненулевое комплексное число z имеет единственное «полярное представление» z = ри, где р — положительное число, а и— комплексное число с модулем 1. В самом деле,

если Если z = 0, то z все же может быть записано в полярной форме с р = 0, но и теперь опре­делено неоднозначно: оно может быть произвольным комплекс­ным числом с модулем 1.

Как обобщить эти факты на комплексные матрицы из Мn? Один из возможных ответов такой: матрицу можно представить в виде A=PU, где Р—положительно (полу)опре­деленная, a U — унитарная матрицы. Более того, разложение этого вида можно обобщить на случай неквадратной матрицы А.

21.3.2. Теорема. Пусть причем Тогда А

представима в виде

где матрица положительно полуопределена, rank Р=rank А и матрица имеет ортонормированные строки (т. е. Матрица Р всегда определена однозначно, а именно, Матрица U определена однозначно, если rank А = т. Для вещественной матрицы А и Р, и U можно вы­брать вещественными.