Дискретно-непрерывная математика (стр. 25 )

24. Объяснить, почему сингулярное разложение можно рас­сматривать как обобщение спектральной теоремы для нормаль­ных матриц.

25. Теорема 16.5.5 об одновременной унитарной диагонализации семейства нормальных матриц имеет аналог, относящийся к сингулярным разложениям. Пусть

предположим, что существуют унитарные матрицы и

такие, что каждая матрица «диагональна» в

смысле задачи 23, т. е. элемент равен 0, если Показать, что (а) каждая матрица нормальна и семейство коммутативно;

(b) для всех Каждое из этих необходимых условий в то же время достаточно для того, чтобы семейство допускало одновременное сингулярное разложение.

26. Отыскание одновременного сингулярного разложения для двух заданных матриц представляет собой частный случай предыдущей задачи. Показать, что для су­ществования унитарных матриц таких, что и матрицы «диагональны», необходимо и достаточно, чтобы оба произведения АВ* и В*А были нормальными матрицами. Указание. В части достаточно­сти показать, что рассмотрение общего случая можно свести к ситуации, когда — неотрицательная и «диагональная» матрица. Группируя равные диагональные элементы матрицы Σ (то есть помещая их в последовательные диагональные позиции), показать, что из нормальности произведений и вытекает, что В — блочно-диагональная матрица, все диагональ­ные блоки которой (за возможным исключением одного блока, если А вырожденна) нормальные. Чтобы получить нужное утверждение, применить к каждому блоку спектральную тео­рему для нормальных матриц либо сингулярное разложение.

27. Предположим, что желательно иметь унитарные матрицы

и такие, что каждую матрицу семейства

можно представить в виде

с «диагональной» матрицей Показать, что для этого необхо­димо, но (если в семействе три или более матриц) не доста­точно, чтобы матрицы и были нормаль­ными при любых Указание. Рассмотреть семейство

Объяснить, какая именно часть рассуждения для двух матриц не срабатывает в случае, когда матриц больше двух.

Задачи к п.21.4.

1. Пусть ранг матрицы AMm п, равен k > 0. Предполо­жим, что нужно найти матрицу А1Mm, п ранга k1 > 0, которая была бы наилучшим приближением к A в евкли­довой норме. Показать, что эта задача может быть решена сле­дующим образом. Пусть А = VΣW* — сингулярное разложение матрицы А. Пусть Σ1 совпадает с Σ в первых k1 «диагональных» позициях; остальные п—k1 «диагональных» позиций в Σ1 нуле­вые. Тогда матрица А = VΣW* имеет требуемые свойства. Ука­зание. Использовать (21.4.15). Отметим, что, как следует из при­мера 21.4.52, полученное приближение будет «наилучшим» не только для евклидовой, но и для любой унитарно инвариантной нормы.

2. Норму ||∙|| на Мп называют самосопряженной, если ||A|| = ||A*|| для любой матрицы A Мп. С помощью теоремы 21.4.24 показать, что всякая унитарно инвариантная норма на Мп само­сопряжена. Привести пример самосопряженной нормы, не яв­ляющейся унитарно инвариантной.

3. Опираясь на теорему 21.4.10 и методы примера 21.4.6, опре­делить наилучшее среднеквадратичное приближение заданной матрицы А Мт,n (считая т≤п) скалярным кратным матрицы Y Мт, n с ортонормированными строками. Указание. Пока­зать, что матрица Y представима в видегде и —унитарные матрицы, Задача минимизации функции сводится к минимизации Пусть— сингулярное разложение матрицы А. Показать, что последняя задача минимизации требует определения числа

Для решения этой задачи использовать теорему 21.4.10 по анало­гии с примером 21.4.13. Показать, что для значения погрешности приближения в данном случае справедливо то же выражение, что в примере 21.4.6.

4. Рассматривая диагональные матрицы пока­зать, что в (21.4.11) возможны любые перестановки τ.

5. Рассмотрим введенную в (2.4.7) функцию и(А). Показать, что для всех Используя определение, доказать непосредственно, что и(А)—векторная норма на Мп. Объяснить, почему в действительности и(А) является даже мат­ричной нормой на Мп. Указание. См. пример 21.4.54.

6. Пусть матрица невырожденна и

— ее число обусловленности относительно спек­тральной нормы. Показать, что равно отношению наибольшего и наименьшего сингулярных чисел. Сравнить с оценкой

7. Показать, что константа в неравенстве Канторовича (21.4.42) есть квадрат отношения среднего геометрического чи­сел и к их среднему арифметическому.

8. Пусть —невырожденная эрмитова матрица. С по­мощью неравенства Канторовича (21.4.40) показать, что

Здесь —сингулярные числа матрицы А. Показать, что суть наибольший и наименьший из модулей собственных значений матрицы А и что

где —спектральное число обусловленности матрицы А. Ука­зать вектор х, для которого достигается максимум. Исходя из определения спектрального числа обусловленности и его связи с определенным выше максимумом, объяснить, почему должно быть