Дискретно-непрерывная математика (стр. 126 )

Представителями полученных таким образом типов неособенных форм являются канонические формы вида (1.1), у которых параметр т прини­мает нижеследующие значения:

4. Приведенной выше классификации неособенных кубических тройнич­ных форм в комплексной и вещественной областях соответствует проектив­ная классификация плоских линий 3-го порядка, не имеющих особых точек.

Как известно, через всякую точку М линии С3, не имеющей особых точек, можно провести пучок четырех касательных к этой линии, точки касания которых не совпадают с точкой М, называемой в этом случае тангенциальной. Двойное отношение пучка этих четырех касательных, как показал Салмон, является постоянным, не зависящим от положения тангенциальной точки М. Оно при всех изменениях порядка четырех каса­тельных может иметь вообще лишь шесть различных значений

(1.14)

где w — одно из этих значений.

Если же w равно кубическому корню (вещественному или мнимому) из —1, то среди величин (1.14) различными будут либо три

(1.15)

либо две

(1.16)

В первом случае имеем гармонический пучок касательных, во втором случае — эквиангармонический.

При определении двойного отношения рассматриваемого пучка четырех касательных последний можно заменить параллельным ему пучком четырех прямых, проходящих через точку (0, 0, 1), так как двойное отношение в обоих пучках одно и то же. Для такого пучка, пользуясь известными формулами, находим шесть значений двойного отношения

(1.17) где—корни уравнения

(1.18)

т. е.

Следовательно, отношения (1.17) не зависят от положения тенгенци-альной точки, а зависят только от значения абсолютного инварианта I.

Если то все шесть отношений (1.17) различны между собой. Будем называть тогда пучок четырех касательных и линию С3 ангармоническими.

Если I= —1, то отношения (1.17) приводятся к двум мнимым сопря­женным значениям (1.16). В этом случае мы имеем эквиангармонический пучок четырех касательных и линию С3 назовем эквиангармонической.

Наконец, если и уравнение (1.18) имеет корни

Отношения (1.17) приводятся тогда к трем различным вещественным значениям (1.15) и мы имеем гармонический пучок четырех касательных к гармонической линии С3.

Таким образом, плоские линии 3-го порядка, не имеющие особых точек, в комплексной области можно разбить, так же как и неособенные кубические тройничные формы, на три типа в зависимости от значений абсолютного инварианта I: линии ангармонические эквиангармонические (I= —1) и гармонические (I = ∞).

5. В вещественной области, как нетрудно убедиться, пучок касатель­ных к линии С3 с общей тангенциальной точкой состоит либо из четырех вещественных прямых, либо из двух пар мнимых сопряженных прямых, если абсолютный инвариант I > 0, и из двух вещественных и из двух мнимых сопряженных прямых, если I < 0.

В случае, когда мы имеем, как уже было указано, гармонический пучок четырех касательных к гармонической линии С3, простой при и сложной при согласно терминологии Кэли.

При конечном значении абсолютного инварианта I, отличном от — 1, когда мы имеем ангармонический пучок четырех касательных, все шесть отношений (1.17) — либо вещественные, если I > 0, либо мнимые попарно сопряженные, если I<0 (упражнение 5). Ангармоническую линию С3 в первом случае будем называть сложной, а во втором случае — простой.

Рассмотрим более подробно случай, когда Тогда из отношений (1.17) одна пара мнимых сопряженных имеет модуль, равный 1. Действительно, приняв во внимание значения вещественного и мнимых корней уравнения (1.18), имеем:

где

(1.19)

Далее, полагая

(1.20)

имеем:

Следовательно, модули мнимых сопряженных величин w и равны 1.

Если то из равенства (1.19), (1.20) находим:

Беря главное значение аргумента мнимого числа, заключающееся в промежутке и обозначая через Ω абсолютную величину аргумента мнимого двойного отношения, модуль которого равен 1, имеем в данном случае

Точно так же, если то из равенств (1.19), (1.20) находим:

Следовательно,

Если же то и поэтому

В последнем случае линия С3 — эквиангармоническая, которую будем называть эквиангармонической линией 1-го типа, если и 2-го типа, если Касательные в вещественных точках перегиба у линии 1-го типа не пересекаются в одной точке, тогда как у линии 2-го типа эти касательные пересекаются в одной точке.

В самом деле, определяя точки пересечения линии

которой проективно эквивалентны эквиангармонические линии 1-го типа, с ее гессианом (то есть линией, уравнение которой получим, приравнивая нулю гессиан формы, представляющей рассматриваемую линию) находим три вещественные точки перегиба

(упражнение 6). Касательные в этих точках, определяемые уравнениями

очевидно, не пересекаются в одной точке.

Точно так же, определяя точки пересечения линии

которой проективно эквивалентны эквиангармонические линии 2-го типа, с ее гессианом

получаем три вещественные точки перегиба (0, —1,1), (— 1, 0, 1), (-1, 1, 0).

Касательные в этих точках, определяемые уравнениями

пересекаются и одной точке (1, 1, 1).

Таким образом, вещественные плоские линии 3-го порядка, не имею­щие особых точек, в соответствии с классификацией вещественных нео­собенных кубических тройничных форм можно разделить на два рода. Линии I рода (I > 0) характеризуются тем, что всякий пучок каса­тельных с общей тангенциальной точкой относительно всех точек касания состоит либо из четырех вещественных прямых, либо из двух пар мнимых сопряженных прямых, тогда как линии II рода (I < 0) обладают тем свойством, что этот пучок касательных состоит из двух вещественных и двух мнимых сопряженных прямых. Далее, линии I рода подразделяем на два вида: сложные ангармоническиеи сложные гармонические Линии II рода разбиваем на три вида: простые ангармони­ческие эквиангармоничсские и простые гармо­нические Наконец, среди простых ангармонических линий раз­личаем линии, для которых или эквиангармонические линии также подразделяем на два типа в зависи­мости от того, не пересекаются или пересекаются в одной точке касательные в вещественных точках перегиба.