Дискретно-непрерывная математика (стр. 149 )

Полагая в нем последовательно

и

получим две формы этого пучка:

Принимая их за базис, будем иметь канонический вид пучка

(2.31)

которому соответствует матрица рис. 59.

(2.32)

Рис. 59.

Кубические миноры 3-го порядка, порождаемые матрицей (2.32), тождественно равны нулю, кроме минора

Следовательно,

Далее, поскольку среди кубических миноров 2-го порядка, порождаемых той же матрицей, существуют равные

Поэтому пучок (2.31) имеет единственный элементарный делитель и характеристика его будет [3].

Для матрицы (2.32) при всех значениях параметров имеем:

При этом выполняется условие (2.16).

Таким образом, в состав пучка (2.31), кроме совокупностей конического сечения и касательной к нему прямой, входит также тройка прямых, из которых две совпадают. Все линии пучка имеют общую прямую, совпада­ющую с двойной прямой этой тройки.

Конические сечения пучка имеют две общие точки; в одной из них имеется соприкасание. Простая прямая тройки пучка проходит через эти точки, а двойная прямая касается конических сечений в их точке сопри­касания.

Вариант 2. Если при этом то, полагая в пучке

(2.25) последовательно

и

получим две формы этого пучка: Приняв их за базис, приходим к каноническому виду

(2.33)

сизигетического пучка (упражнения 16, 17). Для матрицы пучка (2.33) при всех значениях параметровимеем:

При этом выполняется условие (2.16).

При замечаем, что пучок (2.25), в котором, очевидно, можно представить в каноническом виде

(2.34)

Его характеристика будети для соответствующей матрицы при всех значениях параметров удовлетворяющих условиюимеем:

При этом выполняется условие (2.16).

Следовательно, все линии, представляемые пучком (2.34), совпадают, образуя совокупность конического сечения и касательной к нему прямой.

6. Все сказанное до сих пор о составе канонических видов пучков кубических тройничных форм и представляемых ими плоских линий 3-го порядка, о проективных свойствах этих линий и характеризующих их признаках сохраняет силу на основании замечаний 5.9 и 5.10 гл. III и для данного пучка (2.1) во всех рассматривавшихся случаях.

Объединяя в одну категорию пучки с одной и той же характе­ристикой, находим пять категорий пучков кубических тройничных форм, обладающих наивысшей характеристикой (характеристика исключена).

Вместе с тем в зависимости от значений инвариантов

эти категории могут быть подразделены на типы. В прилагаемой табли­це I приведены результаты такой классификации.

Модуль 29.

Индивидуальные тестовые задания

Упражнения к п.29.1

1. Выразить коэффициентыв элементах канонической полиномиальной матрицы (III'), обладающей характеристикой [1], через т, т1, т2, если элементарный делитель ееявляется двукратным делителем соответствующего дискриминанта, остальные делители которого есть

2. Коэффициенты в элементах канонической полиномиальной мат­рицы (V), обладающей характеристикой [0], выразить через если — делители соответствующего дискриминанта.

3. Используя таблицу I, дать классификацию пар кубических двойничных форм в комплексной области.

4. Используя таблицу II, дать классификацию пар кубических двойничпых форм в вещественной области.

5. Показать, что пучок кубических двойничных форм где форма f — неособенная и Q—якобиан форм f и Н [гл. III, (4.1')], строго эквивалентен в поле комп­лексных, а также и вещественных чисел, если дискриминант ∆ формы f—отрицательный, каноническому пучку

(1.44)

6. Показать, что пучок (см. упражнение 5) в поле вещественных чисел вслучае, когда дискриминант ∆ формы f — положительный, строго эквивалентен каноническому пучку

(1.45)

7. Каковы элементарные делители и характеристики пучков (1.44), (1.45)?

8. Доказать, что три точки прямой, задаваемые любой из форм пучка (см. упражнение 5), либо различны между собой, либо совпадают с одной из точек, задаваемых гессианом формы f.

9. Пусть — одна из троек различных точек прямой, задаваемых фор­мами пучка (см. упражнение 5), a N1, N2—точки, задаваемые гессианом формы f. Показать, что пятерки точек проективно эквивалентны ().

10. Доказать, что три точки прямой, задаваемые какой-либо кубической двойничной формой неособенного пучка принадлежащего любой из категорий с характе­ристиками либо различны между собой, либо совпадают и в последнем случае сливаются с одной из точек, задаваемых якобианом форм базиса пучка.

Упражнения к п.29.2

1. Провести классификацию пучков вещественных кубических тройничных форм с наивысшей характеристикой и дать геометрическую интерпретацию полученных результатов.

2. Доказать, что сизигетический пучок кубических тройничных форм при невырожденных линейных преобразованиях (с постоянными, т. е. не зависящими от λ, μ коэффициентами) пары формостается сизигетическим.

3. Если форма f сизигетического пучка — неособенная, то пучок приводит­ся к каноническому виду

(I)

с характеристикой [0] как в комплексной, так и в вещественной области. Доказать.

4. Пучок (I) (упражнение 3) представляет плоские линии 3-го порядка, не имеющие особых точек, а также четыре сизиготических треугольника, каждый из которых является гессианом самого себя (в вещественной области — два сизигетических треуголь­ника; у одного из них все стороны вещественны, у другого одна сторона вещественна, а две — мнимые сопряженные). Среди нераспадающихся линий пучка содержатся четыре эквиангармонические линии, гессианами которых являются упомянутые выше сизигетические треугольники, и три пары гармонических линий, причем в каждой паре одна линия является гессианом другой (в вещественной области — по одной паре эквиангармонических и гармонических линий).