Дискретно-непрерывная математика (стр. 21 )

и для любых связанных неравенствами

(21.4.46), в общем случае.

Предположить, что имеют место неравенства (21.4.46), при­чем в (*) достигается равенство, — это все равно, что предпо­ложить, что вектор мажорирует вектор

(см. определение 18.3.24). В этом случае,

согласно теореме 18.3.33, найдется двоякостохастическая матрица такая, что или Поскольку

всякая двоякостохастическая матрица представима выпуклой комбинацией конечного числа матриц перестановок (см. тео­рему 22.7.1), то можно записать S в виде где и каждая — матрица

перестановки. Отсюда выводим

Здесь использовано то, что — абсолютная векторная норма, инвариантная относительно перестановок компонент своего аргу­мента.

Значение этой теоремы состоит в следующем: для того чтобы неравенство выполнялось при любой унитарно инвариантной норме на необходимо и достаточно, чтобы оно имело место для k-норм Фань Цзы,

21.4.47. Следствие. Пусть А, В — заданные матрицы из с сингулярными числами соответственно и где Для того чтобы при

любой унитарно инвариантной норме на выполнялось

неравенство достаточно выполнения неравенств

(21.4.48)

Необходимыми и достаточными являются неравенства

(21.4.49)

Доказательство. Решающее соображение заключается в том, что унитарно инвариантная норма на есть симметричная калибровочная функция сингулярных чисел своего матричного аргумента (см. теорему 21.4.24). Достаточность неравенств (21.4.48) опирается лишь на тот факт, что симметричная калибровочная функция является монотонной нормой (см. теорему 19.5.10), в то время как более тонкое утверждение относительно неравенств (21.4.49) составляет содержание предыдущей теоремы.

При применении следствия (21.4.47) к доказательству соотно­шений между нормами часто бывает полезна приводимая ниже переформулировка известного нам факта: вектор собственных значений суммы эрмитовых матриц мажорирует сумму векторов, составленных из упорядоченных собственных значений склады­ваемых матриц.

21.4.50. Лемма. Пусть —эрмитовы матрицы с собственными значениями соответственно и

Через обозначим собственные значения матрицы А—В. Тогда вектор

мажорирует вектор т. е.

для причем при k = п достигается равенство.

Доказательство. Согласно теореме 21.3.27, вектор

образованный собствен­ными значениями матрицы мажорирует век­тор а это равносильно тому, что вектор мажорирует вектор

Используя следствие 21.4.47 и леммy 21.4.50 часто удается обобщить аппроксимационные теоремы или неравенства, полу­ченные для евклидовой или спектральной нормы, на весь класс унитарно инвариантных норм.

Пусть, например, заданы матрицы с сингулярными числами соответственно и

и пусть Согласно (21.4.15), справедливо неравенство

Иначе эту нижнюю оценку можно записать как

подразумевая, что в сингулярных разложениях и сингулярные числа расположены на «диагоналях» матриц Σ(А) и Σ(В) по убыванию: от наибольшего к наименьшему. Аналогичный смысл, но для спектральной нормы имеет неравенство (21.3.8а). Именно в этой форме соотношения 21.4.15 распространяются на все унитарно инвариантные нормы.

21.4.51. Теорема. Пусть А, В — заданные матрицы из с сингулярными разложениями где и —унитарные матрицы и «диагональные элементы» матриц Σ(А) и Σ(В) расположены в по­рядке убывания. Тогда какова бы ни была унитарно инвариантная норма на

Доказательство. Положим Используя теорему 21.3.7, сопоставим сингулярные числа матрицы А

с первыми q неположительными собственными значениями эрмитовой матрицы

Общий список из т+п собственных значений матрицы бу­дучи упорядочен, выглядит так:

аналогично выглядит список для и Разностями упорядоченных собственных значений матриц будут числа

и нуль, взятый раз. Хотя неясно, как упорядочить эти числа в целом, q наи­меньшими среди них являются Лемма 21.4.50, примененная кдает

что равносильно неравенствам