Дискретно-непрерывная математика (стр. 114 )

2. Квадратичные формы (4.1), составленные для двойничной линейно-квадратичной формы

представляют два различных относительных коварианта Hi и веса которых для двух рядов переменных этой формы равны соотвотственно 0,2 и 1,1. Доказать.

3. Двойничная линейно-квадратичная форма

ассоциирован­ная с кубической матрицей 2-го порядка симметрической относительно индексови представляющей частный вид матрицы (3.3), которая со­ставлена для матрицы двойничной линейно-квадратичной формы

есть относительный ковариант этой формы веса 1 для ряда переменных х1; х2 и веса 2 для ряда переменных у1, у2. Доказать.

4. Двойничная линейно-квадратичная форма F, ее дискриминант ∆ и коварианты составляют полную систему комитантов формы F. Каким соотношением (сизигией) они связаны?

5. Доказать, что дискриминант якобиана Q двойничной кубической формы f и квадратичной формы Н, представленной формулой (4.1'), равен кубу дискриминанта формы f.

6. С помощью относительных инвариантов S, Т тройничной кубической формы

ее матрицы А и матрицы А, составленной из кубических мино­ров 3-го порядка, порождаемых матрицей А, образуем симметрическую кубическуюматрицу 3-го порядка которую будем называть сложной кубической матрицей для А. Доказать, что двумерный и трехмерный ранги сложной кубической матрицы для А являются арифметическими инвариантами относительно элемен­тарных преобразований матрицы А.

7. Тройничная кубическая форма ассоциированная с матрицей А (упражнение 6), равна ушестеренному гессиану формы т. e.

Доказать, что Н есть относительный ковариант формы f, вес которого равен 2.

8. Пусть

— тройничные кубические формы, ассоциированные с кубическими матрицами 3-го по­рядка которые составлены из кубических миноров 3-го порядка с сиг­натурами порождаемых матрицей А тройничной трилинейной формы

Относительные инварианты веса 4 и 6 форм обозначим соответственно через

Доказать, что выражения так же как и выражения равны между собой и являются относительными инвариантами формы F, веса которых для. каждого ряда переменных этой формы равны соответственно 4 и 6.

9. Доказать, что детерминант

есть относительный инвариант тройничной трилинейной формы вес которого для каждого ряда переменных равен 3 (Паш).

10. Обозначая через S и Т относительные инварианты тройничной трилинейной формы F, веса которых для каждого ряда переменных этой формы равны соответствен­но 4 и 6 (упражнение 8), показать, что выражения где

(упражнение 9) являются абсолютными инвариантами формы F.

11. Вычислить, применяя теорему 4.11, относительные инварианты двойничных форм 4-й и 6-й степени, веса которых равны соответственно 4 и 6.

12. Найти относительный инвариант веса 6 двойничной формы 4-й степени

умножая ее на x23 и вычисляя гипердетерминант матрицы полученной тройничной формы 6-й степени (Бартер).

13. Дана двойничная p-линеиная форма (p—нечетное)

с p-мерной матрицей 2-го порядка Обозначим через — любые из значений 1, 2; v—любое из значений 1, 2, ...,р) р-мериые мино­ры 2-го порядка с сигнатурой порождаемые матрицей А. Доказать, что состав­ленные из этих миноров симметрические квадратные детерминанты 2-го порядка различные между собой при будут относительными инвари­антами веса 2 для каждого ряда переменных формы F (Кэли).

14. Если р-линейную форму

с р-мерной матрицей при р четном подвергнуть (q — 1)- линойному преобразованию (α — какой-нибудь из индексов с q-мерной матрицей

при q четном, то гипердетерминант преобразованной формы будет равен произведению гипердетерминантов матриц A иДоказать.

15. Инвариант алгебраической формы по отношению к нелинейным преобразованиям ее будем называть обобщенным. Пользуясь результатом упражнения 14, показать, что гипердетерминант матрицы p-линейной формы при р четном есть ее обобщенный относительный инвариант веса 1 для каждого ряда переменных по отношению к невы­рожденным (q— 1)-линейным преобразованиям ее, если q — четное.

16. Доказать, что гипердеторминант матрицы А формы

четной степени р есть ее обобщенный относительный инвариант веса р по отношению к невырожденному преобразованию нечетной (q — 1)-й степени

(Бартер).

17. Показать, что кубический детерминант

есть совместный относитель­ный инвариант двух двойничных билинейныхформ

вес которого для каждого ряда переменных равен 1.

18. Указать систему двух двойничных трилинейных форм, у которых совместным относительным инвариантом веса 1 для каждого ряда переменных будет четырехмерный гипердетерминант 2-го порядка

19. Показать, что кубический детерминант

симметрический относительно двух индексов j, k, есть совместный относительный инвариант веса 2 двух двойничных квадратичных форм

20. Показать, что симметрический относительно индексов j, k кубический детерми­нант есть совместный относительный инвариант веса 2 трох тройничных ква­дратичных форм (инвариант (аbс) Аронгольда).

Вывести отсюда в случае, когда все три формы одинаковы, выражение

для дискриминанта тройничной квадратичной формы f1, а в случае, когда одинаковы только две формы, найти выражения двух совместных относительных инвариантов Салмона двух тройничных квадратичных форм

(Брааш).

21. Указать систему двух двойничных кубических форм, у которых совместным относительным инвариантом веса 3 будет четырехмерный гипордетерминант 2-го порядка