Дискретно-непрерывная математика (стр. 154 )

12. Привести сначала пучок к виду где в случае комплексной области, а также и вещественной, если

если в случае вещественной области

15. Принять во внимание соотношение или между значениями любой формы пучка (IV), исключая случай или пучка (IV′), исключая случай и значения мигессиана этой формы.

19. Принять во внимание, что пучок кубических тройничных форм может быть сизигетическим лишь в том случае, когда ранг его равен 3.

Приложения

Приложение А

Блочные матрицы

1 Формулы Фробениуса для обращения блочной матрицы. Пусть неособенная квадратная матрица разбита на блоки

где-матрица, а X22 - (т × т) - матрица.

Еслито

где

Если то

где

Если ито

где К и Н определены выше.

2 Пусть

где Х11 - (п × п)-матрица, а Х22 - (т × т)-матрица.

Если Х11 невырождена, то X невырождена тогда и только тогда, когда матрица невырождена. При этом

Если Х22 невырождена, то X невырождена тогда и только тогда, когда матрица невырождена. При этом

Еслито следующие три утверждения эквивалентны:

3 Пусть

где- квадратные матрицы.

Если 0, то тогда и только тогда, когда

Если то тогда и только тогда, когда

4 Пусть

Если то тогда и только тогда, когда

(А.1)

Доказательство. В соответствии с блочной структурой матрицы X возьмем и сделаем следующие преобразования:

Так както отсюда следует, что 0 тогда и только тогда, когда выполнено матричное неравенство

эквивалентное (А.1).

5 Пусть матрицы А порядка и R порядка невырождены, X и Y имеют порядки соответственно, и матрица невырождена.

Тогда

6 Если А - комплексная матрица ранга r, то она представима в виде (singular-value decomposition)

(А.2)

где * обозначает транспонирование и переход к комплексно сопряженным элементам,

- сингулярные числа матрицы и унитарные матрицы, т. е. ипричем

где и обозначают образ и ядро соответствующей матрицы, a span линейную оболочку столбцов соответствующей матрицы.

7 Пусть - заданные -матрицы. Для существования матриц размеров соответственно, таких, что

(А.3)

для некоторыхнеобходимо и достаточно, чтобы

(А.4) Доказательство. Необходимость. По условию имеем

(А.5)

Из первого уравнения получим

Так как ранг каждой из матриц в правой части этого равенства не превышает k и, сле­довательно, ранг произведения этих матриц также не превышает k, то отсюда следует условие

Далее, выразим из первого уравнения

и подставим в третье

Умножим обе части этого уравнения слева на Y12

Из первого уравнения (А.5) следует, что

Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим

Откуда следует

Так как X > 0, то из леммы А.2 получим

Следовательно, имеет место неравенство

которое в силу леммы А.3 выражается в виде линейного матричного неравенства

Достаточность. Пусть для данных положительно определенных и симметрических матриц Х11 и Y11 выполнены условия (А.4) и

Покажем, как расширить матрицу Х11 так, чтобы условия (А.3) имели место для неко­торых Y12 и Y22. Согласно лемме А.1 должно выполняться равенство