Дискретно-непрерывная математика (стр. 5 )

Согласно теореме 21.2.5, эрмитова матрица положительно определена, если ее ведущие главные миноры положительны (и только в этом случае). Учитывая теорему 21.2.1, видим, что любое из двух ассоциированных с А числовых множеств может быть использовано для проверки положительной определен­ности.

Упражнение. Используя теорему 21.2.5, показать, что матрица

положительно определена.

Упражнение. Показать, что ведущие главные миноры сим­метричной матрицы неотрицательны, но матрица не яв­ляется положительно полуопределенной.

Упражнение. Пусть —эрмитова матрица, и пусть

Показать, что А положительно полуопределена. Указание. Какую ин­формацию о собственных значениях матриц Ап и An-1 дают разделительные неравенства?

Упражнение. Предположим, что эрмитова матрица имеет положительные диагональные элементы и положительный определитель. Рассматривая матрицу

для подходящих значений t, показать, что эти условия сами по себе не обеспечивают положительную определенность. Однако если предположить дополнительно, что некоторая главная под­матрица порядка п—1 является матрицей с диагональным пре­обладанием, то отсюда уже следует положительная определен­ность.

Упражнение. Пусть — эрмитова матрица. Показать, что положительная полуопределенность матрицы А равносильна существованию последовательности эрмитовых матриц сходящейся к А при и такой, что в каждой матрице вся­кая главная подматрица имеет положительный определитель. Вывести отсюда такое следствие: если все главные миноры мат­рицы А неотрицательны, то А положительно полуопределена.

Каждое положительное число имеет единственный положи­тельный корень k-й степени, где k = 1, 2..... Аналогичное утверждение справедливо для положительно определенных матриц.

21.2.6. Теорема. Пусть — положительно полуопреде-

ленная матрица, а — заданное целое число. Тогда существует единственная положительно полуопределенная эрмитова матрица В, такая, что При этом

(a) ВА=АВ и существует многочлен p(t), такой, что В = р(A);

(b) rank B = rank А (таким образом, матрица В положительно определена, если положительно определена А);

(c) В вещественна, если вещественна А.

Доказательство. Мы знаем, что эрмитову матрицу А можно диагонализовать посредством унитарного подобия: где и все Положим здесь и в каждом случае берется единственный неотрицательный корень k-й степени. Ясно, что Bk=A, причем В эрмитова и положительно полуопределена, поскольку все ее собственные значения неотрицательны. Имеем, кроме того,

Ранг матрицы В совпадает с числом ненулевых т. е. с рангом матрицы А. Если А — вещественная положительно полуопределенная матрица, то, как мы знаем, можно выбрать вещественную ортогональную матрицу U. По­нятно, что в этом случае и В может быть взята вещественной. Остается рассмотреть только вопрос о единственности.

Прежде всего заметим, что существует многочлен p(t), та­кой, что р(А)=В. Нужно лишь в качестве p(t) взять интерпо­ляционный многочлен Лагранжа (см. (14.9.11)) для множества

тогда и Если С —произвольная положи­тельно полуопределенная эрмитова матрица, такая, что Сk=А, то Тогда Поскольку В и С — коммутирующие эрмитовы матрицы, то их можно диагонализовать одним преобразованием унитарного по­добия, т. е. существуют унитарная матрица V и диагональные матрицы с неотрицательными диагональными элементами, такие, что и Подставляя эти выражения в равенства Вk = А = Сk, получаем Так как неотрицательный корень k-й степени из неотрицательного числа определен единственным образом, заключаем, что и В = С.

Наиболее полезный случай доказанной теоремы соответ­ствует значению k = 2. Единственный положительно (полу) оп­ределенный квадратный корень из положительно (полу)опреде­ленной матрицы А обычно обозначается через A1/2. Точно так же А1/k обозначает единственный положительно (полу)опреде­ленный корень k-й степени из матрицы A, k = 1, 2, ... .

Упражнение. Вычислить

Упражнение. Показать, что для положительно определенной матрицы А справедливо соотношение

21.2.7. Теорема. Матрица положительно определена тогда и только тогда, когда В = С*С для некоторой невырож­денной матрицы

Доказательство. Если В можно представить в таком виде, то В положительно определена (см. утверждение 21.1.6). Если же В положительно определена, то нужное разложение можно получить, полагая С = В1/2; при этом С даже эрмитова.

21.2.8. Следствие. Эрмитова матрица А тогда и только тогда положительно определена, когда она эрмитово конгруэнтна еди­ничной матрице.

Доказательство. Это утверждение — всего лишь переформу­лированная теорема 21.2.7.

Упражнение. Пусть — положительно определенная

матрица, и пусть где Показать,

что С2 = VC1, где V — унитарная матрица. В частности, пока­зать, что любое решение уравнения А = С*С имеет вид С - VA1/2 для некоторой унитарной матрицы V. Указание. По­казать, что

Иногда полезно знать, что разложение А=С*С положи­тельно полуопределенной матрицы может быть несколько кон­кретизировано. Всякая матрица С допускает (^-разложение (C = QR), где Q унитарна, a R — верхняя треугольная мат­рица такого же ранга, как С (см. (2.6.1)). Но тогда А=С*С =( QR)* QR= R* Q* QR =R*R. Если С невырожденна, то мат­рицу R можно выбрать так, чтобы ее диагональные элементы были положительными (QR -разложение этого типа единствен­но), а если С вещественна, то можно взять вещественные Q и R. Мы установили существование разложения Холецкого мат­рицы А. Оформим этот результат в виде следствия.

21.2.9.Следствие. Для положительной определенности мат­рицы необходимо и достаточно, чтобы существовала невырожденная нижняя треугольная матрица с положи­тельными диагональными элементами, такая, что А=LL*. Если А вещественна, то вещественна и L.