Дискретно-непрерывная математика (стр. 8 )

9. Пусть матрица положительно полуопределена и имеет ранг т. Показать, что существует -матрица С ранга т, такая, что В = С*С. Отметить частный случай этого утверж­дения: положительно полуопределенная матрица ранга 1 всегда может быть представлена в виде хх*, где х — некоторый вектор из

10. Предположим, что матрица положительно полу­определена и имеет ранг r < п. Показать, что у А най­дется положительно определенная главная подматрица по­рядка r.

11. Пусть — эрмитова матрица. Показать, что А тогда и только тогда будет положительно определенной, когда det A > 0 и положительно определена присоединенная матрица adjA [см. (14.8.2)]. В общем случае по­этому при четном п предположение относительно определителя не является необходимым. Если А положительно полуопреде­лена, рассмотреть матрицы и показать, что adj A также положительно полуонределена. Будет ли справедливо об­ратное утверждение, если А вырождения? Указание. Рассмот­реть матрицу

12. Пусть r — заданное число из интервала (0,1); рассмот­рим вещественную симметричную тёплицеву матрицу с элементами Доказать, что А положительно определена, придерживаясь следующей схемы рассуждений:

(а) Если. — минор, дополнительный к элементу то пока­зать, что при Указание. Если то, как можно заметить, первый столбец минора А1j есть крат­ное второго столбца.

(b) Пусть Dn = detA Показать, что D2 и Воспользоваться при этом п. (а) и разложением определителя по первой строке,

(с) Вывести положительную определенность мат­рицы А из теоремы 21.2.5.

13. Показать, что матрица А задачи 12 имеет вещественную симметричную трехдиагональную обратную матрицу; при этом в матрице диагональные элементы равны

а каждый элемент наддиагонали и поддиагонали равен —r. Указание. Трехдиагональность матрицы A-1 вывести из п. (а) задачи 12. Почему А-1 должна быть симметрична? Элементыматрицы А-1 вычислить, пользуясь соотношениями

14. Пусть — заданное скалярное произведение на

— стандартный ортонормированный (по отно­шению к обычному евклидову скалярному произведению) базис пространства и — матрица Грама системы относительно заданного скалярного произведения Показать, что

(21.2 12)

для всех Вывести отсюда такое утверждение: функция тогда и только тогда является скалярным произведением, когда для некоторой положительно опре­деленной матрицы G выполняется (21.2.12).

15. Вспомним введенное в определении 19.4.12 понятие двой­ственной нормы. Пусть — заданное скалярное произведе­ние на а — заданная норма на Эта норма необяза­тельно порождена данным скалярным произведением. В таком случае определим норму, двойственную к относительно ска­лярного произведения посредством формулы

Отметим, что для евклидова скалярного произведения это

обычная двойственная норма. Позволяет ли это обобщение по­нятия двойственной нормы получить какие-либо векторные нор­мы, которые не были найдены ранее другими средствами? Ука­зание. Пользуясь результатом задачи 14, представить в виде и показать, что

16. Пусть дана матрица Доказать, что в том и только в том случае, если существует положительно опре­деленная матрица такая, что положительно определена. Указание. Если В положительно определена, поло­жим Если матрица

положительно определена, то для любого ненулевого вектора

или Полагая у = Сх, показать, что

каков бы ни был ненулевой вектор отсюда

вывести, что Тем самым

Обратно, если то существует невы-

рожденная матрица такая, что (см. 19.6, задача 25). Поэтому проведенное рассуждение можно обратить, полагая

17. Пусть матрицы положительно полуопределены и хотя бы одна из них невырожденна. Показать, что

Указание. Положим

Е = А— В, и пусть — нормированный собственный вектор

матрицы Е, т. е. причем Тогда

и