Дискретно-непрерывная математика (стр. 32 )

21.7.7. Теорема. Пусть матрицы и положительно определены, и пусть В таком случае следующиеутверждения эквивалентны:

Доказательство. Покажем, что из (а) следует (b), из (b) — (с) и из (с) — (а). То, что (с) и (d) эквивалентны, мы уже знаем. Если выполнено (а), то, используя соотношение между арифметическим и геометрическим средними, получаем

т. е. как раз неравенство (b). Если предположить (b), то

Таким образом, для любогои любого

Полагая в этом неравенствеполучим

Поскольку матрицаположительно полуопределена, это равносильно тому, что для любого

Если в качестве y взять произвольный собственный вектор мат­рицы то придем к выводу: соответствующее (обязательно неотрицательное) собственное значение не превоcходит 1; поэтому и спектральный радиус не больше 1, т. е.

и (с) доказано.

Наконец, если выполнено (с), то для любого и любого

имеем

Напомним, что символ обозначает евклидову длину

вектора х. Делая подстановкуполучим

для всех и всех

Чтобы сформулировать неравенства другого сорта, также ве­дущие происхождение от представления (21.7.5), рассмотрим две операции, применимые к положительно определенным матри­цам: обращение и выделение главной подматрицы при задан­ном множестве индексов. Мы знаем, что обе операции сохра­няют положительную определенность, но есть ли какое-нибудь соотношение между результатами применения обеих операций в том и другом порядке к одной и той же матрице? Эти две операции «коммутируют с точностью до не­равенства».

21.7.8. Теорема. Предположим, что матрица положительно определена, и пусть —фиксированное множество индексов. Тогда

Левая часть неравенства есть главная подматрица матрицы Р-1, определяемая множеством S; правая часть — это обратная для соответствующей подматрицы матрицы Р.

Доказательство. Поскольку множество положительно опре­деленных матриц замкнуто относительно преобразований конг­руэнтности, осуществляемых матрицами перестановок, можно считать, что

и Но тогда и

Так как (потому что то и

Требуемое неравенство вытекает теперь из 21.7.4(а).

Словами теорему 21.7.8 можно сформулировать так: в случае положительно определенной матрицы «обратная для главной подматрицы меньше или равна соответствующей подматрице обратной матрицы».

Одно из приложений теоремы 21.7.8 соответствует специаль­ному выбору главной подматрицы, выделяющему адамарово произведение из кронекерова. Если и

то

Для обратимых матриц А и В матрица также обратима и

Поэтому если А и В положительно опре­делены, то, применяя к матрице теорему 21.7.8, по­лучим

Если положить В=А, это неравенство дает

В случае (А положительно определена) имеем

Смысл последнего неравенства: матрица доминирует над собственной обратной. Какую информацию это дает отно­сительно Пусть С — положительно определенная мат­рица со спектральным разложением

все В таком случае неравенство рав-

носильно тому, что все следовательно,

Суммируем эти замечания в следующей теореме.

21.7.9. Теорема. Пусть матрицы положительно определены. Тогда

Поскольку то левую часть утверждения (с) можно

переписать как таким образом, в этом случав

адамарово произведение доминирует над обычным.

21.8. Неравенствa для положительно определенных матриц

Теперь мы обсудим неравенства для величин, ассоциирован­ных с одной или несколькими положительно определенными матрицами. Их следует отличать от матричных неравенств пре­дыдущего параграфа, хотя те и другие нередко связаны между собой. Например, из вытекает Случай положительно определенных матриц богат неравенствами, отно­сящимися к определителям, собственным значениям и тому по­добным величинам. В этом параграфе будут исследованы неко­торые из таких неравенств, не обязательно проистекающие из матричных.

Основное детерминантное неравенство для положительно оп­ределенных матриц — это неравенство Адамара. Многие другие неравенства суть его обобщения в том или ином направлении.

21.8.1. Теорема (неравенство Адамара). Если матрица положительно определена, то

Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда А — диагональная матрица.

Доказательство. Положим и пусть

Неравенстворавносильно усло-