Дискретно-непрерывная математика (стр. 121 )

Результаты g-к л а с с и ф и к а ц и и двойничных линейно-квад-ратичных форм в комплексной области представлены в таб­лице IV.

Таблица IV

Эта классификация распространяется и на вещественную область, если только допустим распадение класса I на два: Iа и Iб в зависимости от знака дискриминанта ∆, и распадение класса III на два: IIIа и IIIб в за­висимости от того, будет ли ковариант Н' отрицательной или положительной полуопределенной квадратичной формой. Можно также сказать, что распадение классов I и III обусловливается значениями сигнатуры , не меняющейся при вещественных элементарных преобразованиях, которыми матрица А в рассматриваемых случаях приводится к каноническому виду. К классу Iа относятся неособенные формы, для которых т. е. Их представителем является каноническая форма (2.5).

К классу Іб относятся неособенные формы, для которых т. е. Они представляются канонической формой (2.5').

Класс ІІІа составляют особенные формы, разлагающиеся в произведение трех вещественных линейных форм: одной, линейной относительно одного из двух рядов переменных, и двух (линейно независимых), линейных относительно другого ряда переменных. У форм этого класса ковариант Н' есть отрицательная полуопроделенная квадратичная форма, т. е. Представитель их — каноническая форма (2.7). Класс ІІІб составляют особенные формы, разлагающиеся в произведение вещественной линейной формы относи­тельно одного из двух рядов переменных и двух мнимых сопряженных линейных форм относительно другого ряда переменных. У форм этого класса ковариант Н' есть положительная полуопределенная квадратичная форма, т. е. Представитель их — каноническая форма (2.7'). Эти дополнительные результаты g-классификации двойничных линейно-квадратичных форм в вещественной области сведены в таблице V.

Таблица V

3. Так же как и для двойничной трилинейной формы, геометрическую интерпретацию комитантов полной системы для линейно-квадратичной формы (упражнение 4 § 4 гл. III) устанавливаем, приравнивая эти комитанты нулю и рассматривая переменные каждого из рядов

как однородные координаты точки на прямой.

Уравнение которое получим, приравнивая нулю неособенную двойничную линейно-квадратичную форму

(2.9)

характеризует проективное соответствие между тремя системами точек прямой в случае, когда две из этих систем совпадают. Такого рода проек­тивное соответствие будем называть линейно-квадратичным. Оно, очевидно, не имеет места для особенных двойничных линейно-квадратичных форм, для которых (упражнение 1 § 4 гл. III).

В неоднородных координатах линейно-квадратичное проективное соот­ветствие определяется уравнением

(2.10)

встречающимся при образовании кривых 3-го порядка, данном Шалем, с помощью пучка прямых и пучка конических сечений.

Предельные точки линейно-квадратичного проективного соответ­ствия в неоднородных координатах даются выражениями

Для определения его тройных точек в тех же координатах служит уравнение

Если матрица А неособенной двойничной линейно-квадратичной формы F — симметрическая, то проективное соответствие, задаваемое фор­мой F, будем называть линейно-квадратичной инволюцией. В неоднородных координатах она определяется уравнением

(2.10')

Предельные и тройные точки линейно-квадратичной инволюции опре­деляются так же, как и в случае линейно-квадратичного проективного соответствия.

Уравнение имеющее в неоднородных координатах вид

(2.11)

(упражнение 3 § 4 гл. III), характеризует линейно-квадратичное проек­тивное соответствие (в частности, инволюцию) между системами точек прямой, если форма F — неособенная.

Геометрическое значение уравнений (упражнение 2 § 4 гл. III) было уже рассмотрено в § 1.

Основные свойства линейно-квадратичных проективных соответствий и инволюций аналогичны свойствам трилинейных проективных соответст­вий, выражаемых теоремами 1.3, 1.4, 1.6 (упражнения 9, 10, 11).

27. 3. Классификация двойничных кубических форм

1. Классификация двойничных кубических форм, так же как и изло­женная в предыдущих параграфах классификация двойничных трилиней­ных и линейно-квадратичных форм, может быть связана с классификацией соответствующих кубических матриц. Канонические виды симметрических кубических матриц, с которыми ассоциируются кубические формы, нахо­дим с помощью симметрических элементарных преобразований этих матриц.

Рис. 17.

Теорема 3.1. Всякая ненулевая симметрическая кубическая ма­трица 2-го порядка эквивалентна в поле комплексных чисел одной и только одной из следующих канонических матриц (рис. 17). В поле веще - ственных чисел к каноническим матрицам, кроме указанных выше, отно­сится также матрица рис. 18.

Рис. 18.

Действительно, если у симметрической кубической матрицы 2-го по­рядка двойничной кубической формы первичный ранг r (двумерный или трех­мерный) равен 1, то элементы нe равны одновременно нулю. Не нарушая общности, можем считать Тогда матрица А после операций

переходит в матрицу вида рис. 19.

Рис. 19.

Так как ранг r матрицы (3.1) также равен 1, то р = 0, q = 0. Следо­вательно, в рассматриваемом случае матрица А эквивалентна канонической матрице (III) как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.

Пусть теперь первичный ранг матрицы А равен 2.

Будем различать случаи, когда элементы А111 и А222 матрицы А не равны одновременно нулю и когда А111 = А222 = 0.

В первом случае матрица А приводится теми же операциями, как и раньше, к матрице (3.1). Из элементов последней составим по формуле (4.1') гл. III квадратичную форму Н. Приравнивая eе нулю и полагая =t, получим уравнение

(3.2)

Если дискриминант квадратичной формы II равен нулю, то q ≠0, так как в противном случае ранг r матрицы (3.1), а сле­довательно, и матрицы А будет равен 1, что противоречит предположению. Подвергая тогда матрицу (3.1) операциям

придем к канонической матрице (II), которой будет, таким образом, экви­валентна матрица А как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.

Пусть теперь Если при этом р = 0, тои матрица (3.1) после операции

переходит в каноническую матрицу (I), которой, следовательно, будет экви­валентна матрица А как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.

Если же р ≠ 0, то матрицу (3.1) подвергаем операциям

где

— конечные, отличные от нуля, простые корни уравнения (3.2).

В результате получим ту же каноническую матрицу (I), которой при сделанных нами предположениях будет эквивалентна в поле комплексных чисел матрица А. В поле вещественных чисел эквивалентность будет иметь место, если дискриминант ∆ формы F — отрицательный и, следовательно, Если же ∆ > 0, то а потому р < 0. Тогда для нахождения эквивалентной канонической матрицы поступаем следующим образом. Прежде всего, матрицу (3.1) операцией