Дискретно-непрерывная математика (стр. 87 )

Аналогично находим:

К более общему понятию произведения по индексу р-мерной матрицы n-го порядка на квадратную матрицу того же порядка мы

придем, подвергая р-линейную форму с матрицей А линейному преобразованиюс матрицей а, в результате чего получим p-линейную форму

матрица которой

будет представлять произведение(упражнение 5).

2. Подвергнем теперь трилинейную форму

билинейному преобразованию

(2.4')

с кубической матрицей

Получим в результате четырехлинейную форму

где

(2.5')

Точно так же, подвергая форму F билинейному преобразованию

(2.4")

или

(2.4"′)

с той же матрицей а, как у преобразования (2.4'), мы получим соответ­ственно четырехлинейную форму

где

(2.5")

(2.5"′)

Четырехмерные матрицы n-го порядка

форм будут тогда соответственно произведениями

по индексам кубической матрицы n-го порядка А на кубическую матрицу того же порядка а. Эти произведения на основании формул (2.5'), (2.5"), (2.5"') представляются в виде

(2.6') (2.6")

(2.6")

Например, если

то

К самому общему понятию произведения а по индексу р-мерной матрицы п-гo порядка на q-мерную матрицу того же порядка

мы придем, подвергая р-линейную форму

с матрицей A (q —1 )-линейному преобразованию

с матрицей а, в результате чего получим (р + q -2)-линейную форму

с (р + q -2)-мерной матрицей

представляющей произведение (упражнение 6).

3. Умножение пространственных матриц не обладает коммутативным свойством. Сложение же пространственных матриц и их умножение связаны законами дистрибутивности.

В самом деле, пусть даны три матрицы n-го порядка, причем две из них одного и того же числа измерений, например:

Тогда для любых значений индексов имеем:

Отсюда ввиду равенства (2.3"′) получаем:

Точно так же находим:

Равенства

доказываются аналогично.

Между умножением пространственной матрицы на число и перемноже­нием самих пространственных матриц существует очень важная связь. Именно, если А, а — пространственные матрицы одного и того же порядка и t — какое-либо число из поля Р, то любой из индексов в матрице А), т. е. если один из множителей матрич­ного произведения умножается на число t, то и все произведение умно­жается на t.

Действительно, пусть даны две какие-нибудь пространственные матрицы одного и того же порядка, например кубические матрицы n-го порядка

и число t из поля Р.

Тогда, имея в виду составление произведения по одному из индексов например по индексу i3, матрицы А на а, находим для любых значений индексов

откуда на основании равенства (2.6'") получаем:

Равенство

доказывается таким же путем.

4. Обратимся теперь к вопросу об умножении детерминантов прост­ранственных матриц, тесно связанному с умножением самих матриц.

Известно, что детерминант произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка выражает произведение их детерминантов. Эта операция умножения квадратных детерминантов может быть распространена на детерминанты высших измерений. Для представления произведения кубического детерминанта (рода 2) на квадратный в виде кубического детерминанта с многочленными элементами существует правило Арменанта—Гарбиери. В несколько видоизмененной форме это правило заключается в следующем.

Пусть дано произведениепо индексу v(v —любой из индексов кубической матрицы n-го порядка на квадратную матрицу того же порядка Тогда кубический детерминант этого матричного произ­ведения, взятый с сигнатурой где μ— любой из индексовотлич­ный от v, равен произведению косигнатурного детерминанта матрицы А на детерминант матрицы а. Иначе говоря, произведение кубического детер­минанта п-го порядка с одной из сигнатурна квадратный де­терминант того же порядка равно косигштурному детерминанту куби­ческой матрицы, представляющей произведение по любому из альтернатив­ных индексов матрицы кубического детерминанта на матрицу квадратного детерминанта.

В самом деле, возьмем произведение по одному из индексов например по индексу k, матрицы А на а и составим соответствующий этому произведению кубический детерминант с сигнатурой который обозначим через Тогда согласно формулам (2.2'") и (2.3'") имеем: