Дискретно-непрерывная математика (стр. 71 )

(11)

относительно неизвестных матриц X и Z. После того, как эти матрицы будут найдены, искомая матрица параметров регулятора находится как

Пример 1 Модальная стабилизация двухзвенного перевернутого маятни­ка: объект описывается уравнениями

Синтезируем регулятор по состоянию, при котором все собственные значения мат­рицы замкнутой системы лежат внутри круга с центром в точке и радиусом, равным 0.1. Данная область является LMI-областью вида D2, и соответствующее линейное матричное неравенство (11) примет вид

где

В результате были получены следующие параметры регулятора

при которых собственные значения матрицы замкнутой системы равны

23.8. Алгоритм поиска взаимнообратных матриц

Как было показано выше, синтез регуляторов во многих случаях состоит из двух эта­пов: поиск двух взаимнообратных матриц, удовлетворяющих линейным матричным неравенствам, и решение относительно параметров регулятора линейного матрично­го неравенства, в которое войдут найденные на первом этапе матрицы. При переходе от первого этапа ко второму может возникнуть следующая теоретически невозможная ситуация, когда две требуемые взаимнообратные матрицы найдены, а линейное мат­ричное неравенство для параметров регулятора оказывается неразрешимым.

Такая ситуация может быть обусловлена недостаточной точностью, с которой вычис­ляются взаимнообратные матрицы. Для возможного устранения этого дефекта нужно повторить вычисления с повышенной точностью. Если и это не приводит к успеху, то вполне вероятно, что линейное матричное неравенство относительно параметров регу­лятора действительно не имеет решения. Проиллюстрируем это явление на простом примере.

Рассмотрим задачу стабилизации объекта

с помощью статической обратной связи по выходу Согласно утверждению 6 п. 23.6 статический регулятор по выходу существует тогда и только тогда, когда две взаим­нообратные матрицы удовлетворяют линейным матричным неравенствам

(1)

В данном случае

и, следовательно,

поэтому неравенства (1) сводятся к следующим

В качестве приближённого решения этой задачи рассмотрим, например, две удовлетво­ряющие этим неравенствам положительно определенные матрицы

гдепроизведение которых сколь угодно близко к единичной матрице. Казалось бы, что требуемый регулятор должен существовать. Вместе с тем, как легко прове­рить, такого регулятора в принципе не существует. В самом деле, подставив управле­ние в уравнения объекта, найдём, что матрица замкнутой системы ни при каком Θ не является гурвицевой.

Кроме того, отметим, что все приводимые ниже алгоритмы весьма чувствительны к заданию начальных условий, поэтому остановка алгоритма, когда еще не означает, что требуемого регулятора не существует. В этом случае целесообразно провести вычисления при других начальных условиях.

Рассматриваемый ниже алгоритм предназначен для решения следующей задачи.

Задача А: найти две взаимнообратные матрицы X и удовлетворяющие системе линейных матричных неравенств относительно X и Y.

Для ее решения рассмотрим также другую задачу.

Задача А1: найти

(2)

где

Дополнительное линейное матричное неравенство в силу леммы Шура эквивалентно неравенству Поэтому в случае, когда в задаче соответствующие матрицы X и Y являются также решением задачи А.

Для решения задачи А1 требуется минимизировать линейную функцию при огра­ничениях, одно из которых

(3)

не является выпуклым и, следовательно, не может быть представлено в виде линейного матричного неравенства. Это обстоятельство не позволяет решать задачу А1 методами выпуклой оптимизации.

Далее опишем алгоритм решения задачи А1, который может быть реализован в пакете MATLAB.

Для описания алгоритма рассмотрим еще одну задачу.

Задача А2: найти

(4)

где

- некоторые заданные матрицы.

Отметим, что в задаче А2 по сравнению с задачей А1 вместо неравенства (3) стоит линейное матричное неравенство Так как

(5)

и в силу неравенства выполнено то когда соответству­ющие X и Y являются решением задачи А (при этом и

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. j = 0.

2. Фиксируются матрицы

3. Решается задача А2 с помощью команды mincx пакета MATLAB и находятся

4. Задаются и осуществляется переход к шагу 2 при

Утверждение 1. Для любых начальных последовательность генерируемая алгоритмом, является неубывающей и существуют следующие пределы

Доказательство. Оценим, как будет меняться спектральный радиус матрицы по траектории алгоритма. Представим

в виде

Выражение в первых квадратных скобках неположительно в силу алгоритма, поскольку на -й итерации принимает минимальное значение при Рассмотрим разность двух матриц, фигурирующих во вторых квадратных скобках. Из (5) следует, что

Учитывая, что получим

Так как из следует, что то в результате получим В этом случае последовательность ограничена снизу и не возрастает, откуда с учетом непрерывности функции спектрального радиуса следует существование указанных в теореме пределов.