Дискретно-непрерывная математика (стр. 138 )

10. Кубическая тройничная форма тогда и только тогда разлагается в произведе­ние трех линейных форм, когда составленные для нее матрицы С и К (или А и А) пропорциональны. Доказать.

Модуль 28.

Индивидуальные тестовые задания

Упражнения к п.28.1.

1. Показать, что матрица формы (1.1) приводится к матрице того же вида, у ко­торой параметр т имеет любое из значений (1.6), с помощью соответственных сим­метрических элементарных преобразований одной из следующих двенадцати групп:

(α) (β)

(γ)

(δ)

где ε — любой из мнимых кубических корней из 1, а п = 0, 1, 2.

2. Указать невырожденные квадратный матрицы, умножение на которые по индексам матрицы формы (1.1) равносильно элементарным преобразованиям упражнения 1.

3. Пусть т0 — любой из корней (1.9) или (1.10) уравнения (1.8), а — соответственно любой из корней (1.10) или (1.9) того же уравнения. Показать, что операции (α) или (β) (см. упражнение 1) над матрицей формы (1.1) с параметром т0 приводит ее к трем матрицам того же вида с параметрами тогда как операции (γ) или (δ) дают три матрицы с параметрами — мнимые кубические корни из 1).

4. Рассматривая параметр т формы (1.1) как абсциссу точки некоторой оси, пока­зать, что пары точек (вещественные корни уравнения (1.5)) и (значения параметра т при образуют гармоническую четверку.

5. Показать, что все корни уравнения (1.18) вещественны, если І>0, и один из этих корней — вещественный, а два — мнимые сопряженные, если І < 0.

6. Каждая из точек пересечения плоской линии 3-го порядка с ее гессианом является точкой перегиба или особой точкой. Наоборот, каждая точка перегиба или особая точка линии 3-го порядка лежит также на ее гессиане. Доказать (Гессе).

7. Форма (1.1) при любом значении параметра т, удовлетворяющем условию проективно эквивалентна в комплексной области канонической форме (ІІІ). Доказать.

8. Форма (1.1) при проективно эквивалентна в вещественной области канонической форме (ІII'). Доказать.

9. Произвести проективную классификацию в комплексной области особенных кубических тройничных форм, не приводящихся к формам с меньшим числом перемен­ных, в зависимости от рангов (двумерных или трехмерных) матриц (гл. III, § 4, упражнение 6), составленных для этих форм.

10. Кубическая тройничная форма тогда и только тогда разлагается в произведе­ние трех линейных форм, когда составленные для нее матрицы С и К (или А и А) пропорциональны. Доказать.

Упражнения к п.28.2

1. Доказать, что в общом случае

2. У форм, обладающих абсолютным инвариантом Q, определяемым формулой (2.31), инварианты имеют неопределенный вид , а инварианты равны ∞.

Доказать.

3. У форм, обладающих абсолютным инвариантом Q0, определяемым формулой (2.33), инварианты имеют неопределенный вид Доказать.

4. Показать, что в случаях (а), когда и (а'), когда имеют место следующие вещественные канонические формы. При r = 2:

причем

где π определяется из уравнения в случае (а) и η = — 1 в случае (а')) как единственный вещественный корень в случае (а) или удовлетворяющий условию в случае (а'), где

причем

причем в случае (а)

где π — единственным неотрицательный корень уравнения

а в случае (а') где π — наименьший корень уравнепия

у которого все корни вещественны и неотрицательны

5. Показать, что в случае (б), когда

имеют место следующие канонические формы. При r = 2:

или I=0 (при причем р и q определяются формулами (2.26), если J1=0, или (2.26'), если при определенном конечном значении J2, или (2.26"), если при

(6б)

(7б) причем

если (в этом случае и детерминант отличный от нуля, сохраняет знак при вещественных аффинно-проективных преобразованиях).

причем Q выражается формулой (2.31) и

6. Показать, что в случае (в), когда r0=1, имеют место следующие вещестнонные канонические формы. При r =1:

причем Q0 выражается формулой (2.33)

7. Показать, что в случае (г), когда r 0 = 0, имеют место следующие канонические формы. При r = 3:

8. В вещественной области каждому значению инварианта Q0 (см. упражнение 6) соответствует простое отношение трех точек пересечения какой-нибудь вещественной прямой с пересекающейся в несобственной точке тройкой различных собственных пря­мых, представляемой канонической формой (3в) или (4в). Все прямые тройки (4в) веще­ственны, если и две из них — мнимые сопряженные, если у тройки (3в), где две прямые — мнимые сопряженные. Доказать, что