Дискретно-непрерывная математика (стр. 42 )

поэтому если

то, согласно (22.1.14),Поскольку это неверно,

заключаем, что r = 0, и, следовательно, и

22.2.6. Следствие. Пусть и предположим, что Существует единственный вектор х, такой, что

и

Упражнение. Доказать следствие 22.2.6.

Единственный нормированный собственный вектор, определенный в следствии 22.2.6, часто называется перроновым вектoром матрицы А, а число ρ(A) — перроновым корнем матрицы А. Конечно, матрица АТ будет положительной, если А положи­тельна, и поэтому все полученные выше результаты справед­ливы и по отношению к АТ. Перронов вектор для АТ называется левым перроновым вектором матрицы А.

Упражнение. Пусть и А > 0. Доказать, что если для

какого-то вектора справедливы соотношения и то х есть кратное перронова вектора для А и

Мы заинтересованы в изучении поведения степеней при потому что эти степени приходится рассматривать в связи с вопросами численного анализа и теории цепей Маркова (в теории вероятностей). В следующей лемме выделяются тре­бования, существенные для различных предельных теорем, от­носящихся к неотрицательным матрицам. Заметим, что все эти предположения выполняются в случае и

22.2.7. Лемма. Пусть заданы матрица и число

Предположим, что векторы х и у удовлетворяют условиям

Образуем матрицу Тогда

(f) всякое ненулевое собственное значение для яв­ляется также собственным значением для А.

Пусть к тому же выполняются условия

(5) λ есть собственное значение для А геометрической крат­ности 1. Тогда

(g) λ не является собственным значением для так что матрица обратима.

Наконец, пусть

(7) λ — единственное собственное значение для А с модулем Упорядочим собственные значения матрицы А таким образом, что Тогда

(j) если r — любое число, удовлетворяющее неравенству то для некоторого имеем

при всех

Доказательство. Утверждения (а), (b), (с) вытекают непо­средственно из предположений (1), (2), (3); согласно (3) оба вектора х и у ненулевые. Предложение (d) следует из (b) и (с). Утверждение (е) доказывается по индукции с использова­нием (b) и (с). Если матрица имеет собственное значе­ние и для некоторого то и, следовательно, Lw = 0. Таким об­разом,т. е. μ является также собствен­ным значением для А, и мы установили предложение (f).

Теперь, если привлечь предположение (4) и взять то это рассуждение показывает, что если бы вектор w был соб­ственным вектором матрицы отвечающим собственному значению λ, то он был бы также собственным вектором мат­рицы А, отвечающим λ. Далее, опираясь на предположение (5), мы должны заключить, что для какого-то Но тогда =0, что невозможно, так как и Это противоречие доказывает предположение (g). Вследствие утверждения (f) или для некоторого собственного значения λk мат­рицы A, или Однако собственные значения мат­рицы А упорядочены по неубыванию модулей и Поэтому в обоих случаях с учетом (g) находим Таким образом, неравенство в (h) есть пря­мое следствие предположения (7). Комбинируя (h) и (е), легко вычислить, что при так как Оценка

скорости сходимости в (j) непосредственно вытекает из след­ствия 19.6.13, примененного к матрице с выбором та­кого числа ε, что

Упражнение. Продумать детали доказательства предложений (а), (b) и (с).

22.2.8. Теорема. Пусть и предположим, что А > 0. Тогда

где

Доказательство. Если —перронов вектор матрицы А и где z— перронов вектор матрицы АT, то для них выполняются предположения (1) — (7) леммы 22.2.7. Предельное соотношение следует из утверждения (i).

22.2.9. Следствие. Еслии А> 0, то

— положительная матрица ранга 1.

22.2.10. Теорема. Если и А>0, то есть собственное значение алгебраической кратности 1; другими сло­вами, — это простой корень характеристического уравне­ния

Доказательство. Согласно теореме Шура о триангуляризации запишем.где (U —унитарная, а — верхняя треугольная матрицы с диагональными элементами где — собственное значение алгебраической кратности при собственное значение по модулю строго меньшеВ этом случае получаем