Дискретно-непрерывная математика (стр. 145 )

Беря канонический пучок (IV) или (IV′), получим задаваемые этим пучком тройки различных точек прямой

(1.38)

где или

Якобианы формбазиса пучка (IV) и форм базиса пучка (IV') с точностью до числового. множителя равны

(1.39)

Каждый из якобианов определяет две различные точки (1.37), из кото­рых только одна точка отлична от точек (1.38).

Составляя двойное отношение этих четырех точек, находим:

Имеем, таким образом, гармонические четверки

Возьмем теперь канонический пучок (VII) или (VII'). Получим тогда тройки различных точек прямой

(1.40)

где

или

Так как якобианы форм базиса каждого из рассматриваемых канони­ческих пучков с точностью до числового множителя представляются выраже­нием (1.39), то из двух различных точек (1.37), задаваемых этими якобиа­нами, только точка отлична от точек (1.40). Составляя двойное отношение этих четырех точек, получаем

Имеем, следовательно, гармонические четверки

Беря, наконец, канонический пучок (XV) или (XV'), будем иметь тройки различных точек прямой

(1.41)

где

или (δ≠0),

Из двух различных точек (1.37), задаваемых якобианами форм базиса каждого из пучков (XV), (XV'), равными с точностью до числового множи­теля выражению (1.39), только точка отлична от точек (1.41), и так как то четверки — гармонические.

6. Другую геометрическую интерпретацию получим, рассматривая инво­люции, задаваемые пучком трилинейных двойничных форм, полярным не­особенному пучку кубических двойничных форм (в предположении, что параметры не принимают, значений, одновременно равных нулю).

Теорема 1.8. Каждая из троек тройных точек инволюций, задаваемых пучком трилинейных двойничных форм, полярным неособенному пучку куби­ческих двойничных форм относящемуся к любой из категорий с харак­теристиками вместе с любой из четверных точек инволюции, задаваемой четырехлинейной двойничной формой, полярной яко­биану форм f, φ базиса пучка, принадлежит этой четырехлинейной инво­люции.

(В однородных координатах четырехлинейная инволюция характеризуется урав­нением вида

)

Действительно, точки (1.35) являются тройными точками трилинейных инволюций, задаваемых неособенным пучком трилинейных двойничных форм, полярным каноническому пучку (I) кубических двойничных форм, относя­щемуся к категории с характеристикой [11], а точки (1.41) будут четверными точками четырехлинейной инволюции, характеризуемой уравнением

(1.42)

которое получим, приравнивая нулю четырехлинейную форму, полярную якобиану (1.36) форм базиса пучка (I).

Тройка точек (1.35) вместе с любой из точек (1.37), очевидно, при­надлежит инволюции (1.42).

К тому же результату придем, рассматривая трилинейные инволюции, задаваемые неособенным пучком трилинейных двойничных форм, полярным каноническому пучку кубических двойничных форм (I′), (XII) или (XIII), относящемуся соответственно к категории с характерстикой или

Теорема 1.9. Каждая из троек тройных точек инволюций, задавае­мых пучком трилинейных двойничных форм, полярным неособенному пучку кубических двойничных форм относящемуся к тем типам из категорий с характеристиками у которых элементарный делитель является трехкратным делителем его дискриминанта, вместе с совпадающей с одной из точек рассматриваемой тройки четверной точкой инволюции, задаваемой четырехлинейной формой, полярной якобиану форм f, φ базиса пучка, при­надлежит этой четырехлинейной инволюции.

Для доказательства рассмотрим тройки тройных точек инволюций, задаваемых неособенным пучком трилинейных двойничных форм, полярным одному из канонических пучков кубических двойничных форм (IV) и (IV'), (VII) и (VII'), (XV) и (XV'), представляющих типы пучков, упоминаемых в теореме.

Такими тройками являются точки (1.38), (1.40), (1.41).

Точки (1.37) будут четверными точками четырехлинойной инволюции, характеризуемой уравнением

(1.43)

которое получим, приравнивая нулю четырехлинейную форму, полярную якобиану форм базиса каждого из упомянутых выше канонических пучков, представляемому с точностью до числового множителя выражением (1.39). Инволюции (1.43), очевидно, принадлежит каждая из троек (1.38), (1.40) вместе с совпадающей с одной из точек каждой тройки точкой N2 (1,0) нары (1.37), а также тройка (1.41) вместе с совпадающей с одной из точек этой тройки точкой N1 (0, 1) той же пары (1.37). А это и требова­лось доказать.

29.2. Классификация пучков кубических тройничных форм

1. Пусть дан пучок кубических тройничных форм над полем комплекс­ных чисел

(2.1)

где— переменные параметры, а формы

с соответствующими симметрическими кубическими матрицами

образуют базис пучка.

Исследование этого пучка ограничим наиболее интересным случаем, когда его характеристика — наивысшая, т. е.

Для этого необходимо и достаточно, чтобы наибольший общий дели­тель кубических миноров 3-го порядка, порождаемых матрицей пучка (2.1) был кубической формой от λ, μ, что возможно только тогда, когда ранг (двумерный или трехмерный) этой матрицы равен 3, т. е. когда пучок (2.1) — регулярный.

В этом случае, если формы базиса пучка линейно зависимы, то характеристика его, как нетрудно убедиться, будет [(111)]. Тогда все формы пучка являются попарно линейно зависимыми и представляемые ими плоские линии 3-го порядка совпадают.

Если же формы линейно независимы, то, принимая за базис пучка (2.1) его формы

где

и λ1, μ 1 удовлетворяют условию

можно представить этот пучок в виде

(2.2)

Подвергая полиномиальную кубическую матрицу, соответствующую пучку (2.2), постоянным симметрическим элементарным преобразованиям, приводящим матрицу формы к каноническому виду, соответствующему каноническому виду F формы получим регулярный пучок вида

(2.3)