Дискретно-непрерывная математика (стр. 3 )

Матрицы со специальным свойством положительности, иллю­стрируемым этими примерами, являются предметом исследова­ния в данной главе. Эти матрицы возникают в многочисленных приложениях: в гармоническом анализе, комплексном анализе, теории колебаний механических систем и, кроме того, во многих разделах самой теории матриц, например при сингулярном раз­ложении матрицы или решении линейных задач метода наи­меньших квадратов.

21.1. Определения и свойства

Эрмитова -матрица А называется положительно определенной, если

(21.1.1)

Если ослабить (21.1.1) заменой знака > на ≥, то А будет на­зываться положительно полуопределенной. В сами определяю­щие неравенства (21.1.1) уже неявно заложено требование, чтобы А была эрмитовой, поскольку левая часть должна быть веще­ственным числом при всех х. Разумеется, если А положительно определена, то она будет в то же врeмя положительно полуопределениой.

Упражнение. Что означают свойства положительной опреде­ленности и полуопределенности при п = 1?

Упражнение. Пусть и пусть произведение х*Ах вещественно для любого Доказать, что А — эрмитова матрица. Таким образом, вводя свойство положительной определенности, можно не требовать, чтобы матрица А была эрмитовой. Тем не менее, этого обычно требуют. Указание. Представить А в виде где В и С эрмитовы.

Упражнение. Пусть А — вещественная матрица из Мп, и пусть произведение положительно для любого ненулевого вектора Показать, что матрица А не обязана быть симметричной и, следовательно, положительно определенной. Ука­зание. Рассмотреть вещественную кососимметричную матрицу А и вычислить Чему в этом случае равно Что можно сказать о если х — комплексный вектор?

Упражнение. Показать, что матрица положительно

полуопределена, но не является положительно определенной.

Упражнение. Показать, что если положительно определена, то это же верно для матриц и А-1. Указание. Если то

Аналогичным образом можно ввести термины отрицательно определенная и отрицательно полуопределенная матрица: до­статочно изменить в определении (21.1.1) знак неравенства на противоположный или, что эквивалентно, потребовать, чтобы матрица —А была соответственно положительно определенной или положительно полуопределенной. Таким образом, всякое утверждение относительно отрицательно определенных матриц отражает зеркальным образом утверждение относительно поло­жительно определенных матриц. Если эрмитова матрица не принадлежит ни одному из указанных выше классов (т. е, левая часть (21.1.1) может принимать и положительные, и отри­цательные значения), то ее называют незнакоопределенной.

Из свойства матрицы быть положительно определенной сразу вытекает несколько следствий; каждое из них имеет ана­лог для положительно полуопределенных матриц.

21.1.2. Утверждение. Всякая главная подматрица положи­тельно определенной матрицы сама положительно определена.

Доказательство. Пусть S — собственное подмножество мно­жества Обозначим через A(S) матрицу, получен­ную из положительно определенной матрицы удале­нием строк и столбцов с номерами, дополнительными к S. Тогда A(S) — главная подматрица матрицы А, и все главные подмат­рицы могут быть получены этим путем. Напомним, что число det A(S) есть главный минор матрицы А. Пусть — нену­левой вектор, в котором компоненты, индексированные множе­ством S, произвольны, а остальные компоненты нулевые. Пусть x(S) — вектор, получающийся из х удалением (нулевых) компо­нент с номерами, дополнительными к S. Заметим, что

Поскольку x(S) — произвольный ненулевой вектор, это означает, что матрица A (S) положительно определена.

Упражнение. Показать, что диагональные элементы положи­тельно определенной матрицы суть положительные числа.

21.1.3. Утверждение. Сумма любых двух положительно опре­деленных матриц одинакового порядка является положительно определенной матрицей. Более общо, любая неотрицательная линейная комбинация положительно полуопределенных матриц сама положительно полуопределена.

Доказательство. Пусть А и В положительно полуопределены, и пусть числа а, b неотрицательны. Заметим, что для любого справедливо

Случай большего числа слагаемых рассматривается аналогич­ным образом. Если коэффициенты положительны, матрицы А и В положительно определены и вектор х ненулевой, то каждый член указанной выше суммы положителен. Таким образом, по­ложительная линейная комбинация положительно определенных матриц сама положительно определена.

Итак, множество положительно определенных матриц есть положительный конус в векторном пространстве всех матриц.

21.1.4. Утверждение. Каждое собственное значение положи­тельно определенной матрицы положительно.

Доказательство. Пусть А положительно определена, и х — собственный вектор матрицы А, отвечающий λ. Тогда

Поэтому собственное значение положительно как отношение двух положительных чисел.

21.1.5. Следствие. След, определитель и все главные миноры положительно определенной матрицы положительны.

Доказательство. След и определитель являются соответствен­но суммой и произведением собственных значений. Остальное следует из утверждения 21.1.2.

Упражнение. Показать, что собственные значения, след, опре­делитель н главные миноры положительно полуопределенной матрицы суть неотрицательные числа.

Упражнение. Показать, что собственные значения и след отрицательно определенной матрицы порядка п отрицательны, а определитель отрицателен для нечетных п и положителен для четных.

Упражнение. Показать, что если матрица положительно определена, то (Указание. Восполь-

зоваться свойством detA>0.) Вывести отсюда, что для поло­жительно определенной матрицы при всех

Показать, что в случае, если А лишь положительно полуопределена, знак > в этом неравенстве нужно заменить на

21.1.6. Утверждение. Пусть матрица положительно определена. Если то матрица С*АС положительно полуопределена. Кроме того, rank (С*АС) = rank С, так что С*АС положительно определена тогда и только тогда, когда С имеет ранг т.

Доказательство. Прежде всего заметим, что матрица С*АС эрмитова. Для любого имеем где

а неравенство есть следствие положительной опреде­ленности матрицы А. Итак, матрица С*АС положительно полу­определена. Далее замечаем, что, поскольку А положительно определена, неравенство равносильно условию