Дискретно-непрерывная математика (стр. 101 )

матрицу

где строки направлений содержат соответственно по элементов матрицы А, расположенных в нормальном порядке.

Выделим в матрице А" по v каких-нибудь сечений каждой из ориен­тации располагая их в нормальном порядке, причем в случае, когда— нечетное, некоторые или даже все из v сечений ориентации могут быть повторными. Составим затем из элементов, общих всем выделенным сечениям,-мерный детерминант v-ro порядка, в котором все индексы—альтернативные, а m-кратный индекс является альтернативным или неальтернативным, смотря по тому, будет ли четным или нечетным. Этот детерминант называется -мерным минором v-ro порядка, порождаемым матрицей А, сигнатура которого будетили

в зависимости от четности

Наивысший порядок такого рода детерминантов, отличных от нуля, называется -мерным рангом

по кратным индексам матрицы А. В этом определении ранга, очевидно, содержатся все предыдущие определения различных рангов матрицы А, получающиеся из него при различных предположениях относительно чисел т и π. Число - мерных рангов матрицы А равно Так, например, четырехмерная матрица имеет двенадцать трехмерных рангов по двум кратным индексам:

Подобно теореме 2.4 доказывается более общая

Теорема 2.5. Каждый -мерный

ранг р-мерной матрицы по π—т кратным индексам есть арифметический инвариант относительно ее элементарных преобразований.

Возможно также дальнейшее обобщение теорем 2.2, 2.3 и вытекающих из них следствий (упражнение 9).

Замечание 2.5. Если р-мерная матрица — симметрическая, то ее -мерные ранги по каждым π—т кратным индексам одинаковы.

Замечание 2.6. Все рассмотренные в этом параграфе многомерные ранги пространственной матрицы А называются также многомерными ран­гами ассоциированной с ней алгебраической формы F и являются арифме­тическими инвариантами относительно ее невырожденных линейных преоб­разований.

26.3. Ранги различных степеней

1. Рассмотренные в предыдущих параграфах двумерные и многомерные ранги пространственной матрицы А могут быть названы первичными. Как увидим далее, существуют матрицы, известным образом составленные из элементов основной матрицы А, первичные ранги которых являются ариф­метическими инвариантами относительно элементарных преобразований мат­рицы А. Эти ранги будем называть вторичными рангами матрицы А и ассо­циированной с ней алгебраической формы F. Подобным образом определяются третичные, четвертичные и высших степеней ранги матрицы А и формы F. Число рангов одной и той же степени всегда конечно.

Мы ограничимся рассмотрением вторичных рангов матрицы А в простей­ших случаях, когда А — кубическая матрица порядка 2 или 3. Более сложные случаи рассматриваются аналогично (упражнения 2 — 7).

2. Пусть

Введем для кубических миноров 2-го порядка с сигнатурами порождаемых матрицей А, обозначения

где—любые из значений 1, 2.

Из этих миноров составим квадратные матрицы 2-го порядка

(3.1)

которые, в виду свойства III (гл. I, § 2) многомерных детерминантов, будут симметрическими.

Для них имеет место

Теорема 3.1. Ранги матриц являются арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразований кубической матрицы 1-го порядка А, и следовательно, будут ее вторичными рангами соответственно по индексам

Действительно, операция

над матрицей А вызывает в матрице при умножение l-й строки и l-го столбца на t, а при или —умножение всех строк или всех столбцов на t, что равносильно умножению всех строк и столбцов на или, в случае поля вещественных чисел, умножению всех строк и столбцов на и самой матрицы на

Операция

над А приили не вызывает изменений в а при сопро­вождается прибавлением в к т-й строке умноженной на t l-й строки и прибавлением к m-му столбцу умноженного на t l-го столбца.

Таким образом, элементарные преобразования матрицы А влекут за собой симметрические элементарные преобразования матрицы не нарушающие ее симметричности и не изменяющие ее ранга

Точно так же убеждаемся, что аналогичные заключения имеют место для матриц и их рангов

3 а м е ч а н и е 3.1. Элементарные преобразования квадратной матрицы будем называть симметрическими, если любое из этих преобразований, совершаемое над строками (столбцами) матрицы, воспроизводится и над соответствующими им столбцами (строками). Элементарные преобразования сим­метрических квадратных матриц (3.1), вызываемые вещественными элементар­ными преобразованиями основной матрицы А, являются симметрическими вещественными элементарными преобразованиями, сопровождающимися еще, быть может, умножением этих матриц на — 1. Вводя для симметрической квадратной матрицы с вещественными элементами понятие сигнатуры как разности между числами положительных и отрицательных элементов эквивалентной ей диагональной матрицы, к которой она приводится цепочкой симметрических вещественных элементарных преобразований, отметим, что сигнатура, так же как и ранг матрицы, не изменяется при такого рода преобразованиях. Отсюда заключаем, что в поле вещественных чисел абсо­лютные величины сигнатур матриц (3.1)

будут арифметическими инвариантами относительно вещественных элемен­тарных преобразований матрицы А. Если эти преобразования — симметри­ческие, то инвариантами будут и сигнатуры При вещест­венных элементарных преобразованиях но индексу i и симметрических вещественных элементарных преобразованиях по индексамматрицы А инвариантом будет также сигнатура Аналогичные замечания отно­сятся к сигнатурам