Дискретно-непрерывная математика (стр. 89 )

Детерминант согласно определению есть алгебраическая сумма (n!)4 членов вида

где K2, K4 — числа инверсий в перестановках

Перепишем последнее выражение в виде

(2.19)

где

есть последовательность в некотором порядке значений 11, 22, ..., пп двукратного индексаа I2 и J2 —числа инверсий в перестановках

Так как детерминанты (2.9) являются алгебраическими суммами (n!)2 членов соответственно видов

и

где I2 и J2 гмеют указанные выше значения, а I3 и J1 —числа инверсий в перестановках

то произведение

этих детерминантов есть алгебраическая сумма (п!)4 членов вида

т. е. вида (2.19), поскольку множители последнего выражения могут быть расположены в таком порядке, чтобы перестановки

были одинаковы и, следовательно,Таким образом, каждому члену произведениясоответствует один и только один равный ему член детерминанта и так как произведение и детерминанткоторый на основании выражения (2.18) можно представить в виде содержат одно и то же число членов, то они равны между собой, т. е.

(2.20)

где все индексы независимо друг от друга пробегают значения 1, 2, ..., п.

Равенство (2.20) и подобные ему равенства, которые получим таким же путем, беря в матрицах детерминантов (2.9) сечения других каких-нибудь ориентации для составления матрицы В, выражают правило Скотта — Раиса получения произведения двух кубических детерминантов в виде пятимерного детерминанта с одночленными элементами.

25. 3. Умножение нескольких пространственных матриц

1. Как было показано в п.25.2, мы приходим к понятию произведения по некоторому индексу кубической матрицы на квадратную, подвергая соответственную трилинейную форму линейному преобразованию по одному ряду неременных. Подвергнем теперь трилинейную форму

с кубической матрицей цепочке линейных преобразований по одному какому-нибудь ряду переменных, например

с соответствующими квадратными матрицами

(3.1)

Получим тогда трилинейную форму

с кубической матрицей

(3.2)

элементы которой выражаются формулами

Отсюда, принимая во внимание равенство (2.3'), заключаем, что матрица (3.2) получается в результате последовательного умножения по индексу i кубической матрицы А на квадратные матрицы (3.1), т. е.

(3.3)

К той же форме F(q) мы придем, подвергая форму F линейному преобра­зованию

матрица которого является произведением матриц (3.1), т. е. Следовательно, ввиду равенств (2.2'), (2.3') имеем:

(3.4)

Сравнивая равенства (3.3) и (3.4), находим:

(3.5)

Таким образом, последовательное умножение по одному какому-либо индексу кубической матрицы п-го порядка на несколько квадратных мат­риц того же порядка равносильно умножению по тому же индексу куби­ческой матрицы па квадратную, являющуюся произведением данных квадрат­ных матриц.

Аналогичный результат получим при умножении по какому-нибудь индексу p-мерной матрицы n-го порядка А на квадратные матрицы того же порядка (упражнение 1).

2. Преобразуем, далее, трилинейную форму полагая

(3.6')

Получим тогда трилинейную форму коэффициенты которой согласно формулам (2.2'), (2.2") представляются в зависимости от порядка, в котором совершаются преобразования (3.6'), выражениями

В соответствии с этим матрица

(3.7)

формы Ф' выражается в виде следующих произведений матрицы А формы F на матрицы а, b преобразований (3.6'):

(3.8')

При этом согласно правилу Арменанта — Гарбиери имеем:

(3.9')

Точно так же, полагая в форме F

(3.6")

или

(3.6'")

получим соответственно трилинейную форму

Отсюда находим:

(3.8")

(3.8'")

и

(3.9")

(3.9'")

Из равенств (3.8'), (3.8"), (3.8'") заключаем, что при последовательном умно­жении по различным индексам кубической матрицы на квадратные поря­док следования квадратных матриц в произведении не влияет на результат умножения.

Если матрицы а, b одинаковы, то равенства (3.8'), (3.8"), (3.8'") при­нимают вид

(3.10') (3.10")

(3.10'")

где — сокращенные обозначения матричных произведений

а вместо равенств (3.9'), (3.9"), (3.9'") будем иметь:

(3.11') (3.11") (3.11'")

Если при этом матрица A — симметрическая (кососимметрическая) отно­сительно двух каких-нибудь индексов, например относительно i, j, то и матрица (3.10'), как нетрудно убедиться, также будет симметрической (кососимметрической) относительно индексов i, j

Таким образом, если кубическую матрицу п-го порядка А, симметри­ческую (кососимметрическую) относительно двух каких-нибудь индексов, последовательно умножить по тем же индексам (в каком, угодно порядке) на квадратную матрицу п-го порядка а, то произведение будет кубической матрицей того же порядка, симметрической (кососимметрической) относи­тельно тех же двух индексов, причем соответствующий детерминант, в котором эти два индекса предполагаются альтернативными, равен про­изведению косигнатурного детерминанта матрицы А на квадрат детерми­нанта матрицы а. Например, если